CCF模拟题4－有趣的数

CCF模拟题4－有趣的数

问题描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：

1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
   因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
   请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
   输入格式

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式：输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入
4
样例输出
3

一、思路

这里约束了：0与1、2与3的关系

考虑第一个数：这个数只能是2
考虑第二个数：0或者3或者2
这里可以得出一个结论，如果只有两个的话，其中一个必然是2，且另一个不可能是1
第三个数的取值范围与第二个数有关系

那么，如此类推下去，假设长度为n，我们需要取第i个数：
这里你可以将0视为出现1的前提条件，反过来，出现1之后，就不能出现0了。
将2视为出现3的前提条件，反过来，出现3之后，就不能出现2了。
第i个数的取值肯定是和之前有关系的，考虑之前出现过的状态：

（1）只出现了2

这种情况下，我们可以取的数有：0，2，3

（2）出现了2，3

这种情况下，我们可以取的数有：0，3
因为出现了3，3不能在2的前面，所以取不了2了

（3）出现了0，2

这种情况下，我们可以取的数有：0，1，2，3

（4）出现了0，1，2

这种情况下，我们可以取的数有：1，2，3

（5）出现了0，2，3

这种情况下，我们可以取的数有：0，1，3
因为0出现了，所以可以取1了

（6）出现了0，1，2，3四个数字

这种情况下，我们可以取的数有：1，3
因为出现了3，3不能在2的前面，所以取不了2了
因为出现了1，1不能在0的前面，所以取不了0了

注意：有的情况是不可能出现的，比如：（1，2）、（1，3）这种

这里，我们给出如下两个要求：
（1）0只能出现在1前面
（2）2只能出现在3前面
现在我们假设$f(i,j)$表示：
给定数的长度为i，且之前的状态是j时，所能生成的满足上述两个条件的个数
那么这个$f(i,j)$与我们要求解的问题有什么关系呢？
没错，我们有趣的数需要满足三个条件，除了上述两个外，第三个条件：
（3）0，1，2，3都要出现
这正好是状态6的情况
因此$f(i,6)$就是长度为$i$的有趣的数的个数

现在来看看$f(i,6)$是怎么来的，生成$f(i,6)$有几种办法呢？先考虑一步走
无非是：

• 长度为$i-1$的时候，到达状态6，即：$f(i-1,6)$，最后一个数从1和3中选一个
• 长度为$i-1$的时候，到达状态5，即：$f(i-1,5)$，最后一个数只能是1，这样才能满足条件（3）
• 长度为$i-1$的时候，到达状态4，即：$f(i-1,4)$，最后一个数只能是3，这样才能满足条件（3）
  除此以外还有别的方法吗？考虑两步走：
• 长度为$i-2$的时候，到达状态6，这种情况下与一步走的情况（1）相同，重复了
• 长度为$i-2$的时候，到达状态5，这种情况下，决定下一个数时，会转换为一步走的三种情况中的一个
  …
  其余情况不再累述，事实上两步走终究是要变到一步走的

所以我们推出了状态转移方程：
$f(i,6)=2\ast f(i-1,6)+f(i-1,5)+f(i-1,4)$

这个时候，你可能会说，$f(i-1,6)、f(i-1,5)、f(i-1,4)$也不好算啊

其实，通过上面的公式，原问题的规模从$i$下降到了$i-1$，并且复杂度也有下降
$f(i-1,6)$的计算公式与$f(i,6)$一样

那么就来看看$f(i-1,5)$该怎么算了，还是考虑一步走：

• 长度为$i-2$的时候，到达状态5，即：$f(i-2,5)$，最后一个数：0或者3
• 长度为$i-2$的时候，到达状态2，即：$f(i-2,3)$，最后一个数只能是3，这样才能到状态5
• 长度为$i-2$的时候，到达状态3，即：$f(i-2,2)$，最后一个数只能是0，这样才能到状态5

于是：
$f(i-1,5)=2\ast f(i-2,5)+f(i-2,2)+f(i-2,3)$
同样对$f(i-1,4)$分析之后，有：
$f(i-1,4)=2\ast f(i-2,4)+f(i-2,3)$

好了，剩下的拆分，也是一样的道理：
$f(i-2,2)=f(i-3,2)+f(i-3,1)$
$f(i-2,3)=f(i-3,3)+f(i-3,1)$
初始条件：
$f(n,1)=1$

C++代码：

class Solution {
public:
	int findInterestNums(int n) {
		vector<vector<long long> > dp(n + 1, vector<long long>(6));
		// 初始化
		for (int i = 0; i < 6; i++)
			dp[0][i] = 0;
		// 计算
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			long long j = i - 1;
			dp[i][0] = 1;
			dp[i][1] = dp[j][1] + dp[j][0];
			dp[i][2] = dp[j][2] + dp[j][0];
			dp[i][3] = 2 * dp[j][3] + dp[j][2];
			dp[i][4] = 2 * dp[j][4] + dp[j][2] + dp[j][1];
			dp[i][5] = 2 * dp[j][5] + dp[j][4] + dp[j][3];
		}		
		return dp[n][5];
	}
};