简单题-不用库函数,求解一个数字的平方根

本文对比了牛顿法和二分法在求解平方根问题上的性能,通过实现代码展示了牛顿法的高效迭代过程,并通过实例验证其速度优势。

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题目:

如标题所示,不用平方根库函数,求解一个数字的平方根。

分析:

这个问题有两个思路:

思路1:采用二分的方式(无处不在的二分),上界初始化为数字本身,下界初始化为1,这样用二分,判断中间数字的平方和目标数字比较,再修改上界和下界,直到小于一定的阈值。

思路2:采用牛顿法(数值分析中提到),采用微分的方式,从初始点开始,每次迭代,微分求解切线,然后求解切线和x轴的交点,再以这个交点作为起点,迭代进行。比如求解24,那么写出函数:

f(x) = x^2 - 24

我们目标就是求解这个函数的根,函数一阶导数是:

f'(x) = 2*x

起始点可以选择x0 = 24,通过求解,可以得到下一个迭代点的公式为:

x1 = -f(x0) / f'(x0) + x0

这样迭代下去,直到最后小于一定的阈值。

算法代码如下:

/*
 * square.cpp
 *
 *  Created on: 2012-10-4
 *      Author: happier
 */


#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define E 0.001		//精度设置

/*
 * 二分法求解
 */
double bSearch(double number, int *count)
{
	//int count = 0;
	double start = 1.0;
	double end = number;
	while(true)
	{
		(*count)++;
		double mid = (start + end) / 2;
		if(mid * mid - number <= E && mid * mid - number >= -E)
			return mid;

		if(mid*mid - number > E)
			end = mid;
		else
			start = mid;
	}

	return 0;
}

/*
 * 牛顿法求解
 */
double newton(double number, int *count)
{
	double x0 = number;
	double x1;
	while(true)
	{
		(*count)++;
		x1 = -(x0*x0 - number) / (2 * x0) + x0;
		if(x1 * x1 - number <= E && x1 * x1 - number >= -E)
			return x1;
		x0 = x1;
	}

	return 0;
}

int main()
{
	int count = 0;	//统计迭代次数
	cout << "Please input the number::" << endl;
	double number;
	cin >> number;

	cout << bSearch(number, &count) <<endl;
	cout << count <<endl;

	count = 0;
	cout << newton(number, &count) <<endl;
	cout << count <<endl;

	return 0;
}

总结:

通过运行发现,牛顿法的求解速度要比二分法快很多,例如求解30000,牛顿法只要11次迭代,可以达到0.001精度,但是二分法需要33次,所以数值分析普遍采用牛顿法进行求根。

### C语言使用库函数实现平方根计算方法 #### 牛顿迭代法 一种有效的方式是利用牛顿迭代法来近似求解平方根[^3]。该算法基于断改进猜测值的过程,直到达到所需的精度为止。 对于给定的一个非负实数 \(a\) ,假设其平方根为 \(x_0\) 。通过下面的公式可以逐步逼近真实的平方根: \[ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n +\frac{a}{x_n}) \] 当连续两次的结果相差非常小时,则认为已经找到了足够接近真实值的结果。 下面是具体的代码实现方式: ```c #include <stdio.h> double mysqrt(double num){ double lastGuess, guess; if(num<0)return -1; // 负数无实数平方根 guess=num/2.0; do{ lastGuess=guess; guess=(num/guess+guess)/2.0; }while((lastGuess-guess)!=0); return guess; } int main(){ printf("%.4f\n",mysqrt(9)); } ``` 此段代码实现了自定义的 `mysqrt` 函数用于替代标准库中的 sqrt 函数,并且能够处理正数输入的情况。需要注意的是,在循环条件判断上采用了 `(lastGuess-guess)!=0` 来确保足够的精度。 另外还有一种较为简单但是效率较低的办法就是暴力枚举法,这种方法适用于只需要得到整数部分结果的情形下[^2]。如下所示是一个简单的例子: ```c #include<stdio.h> #include<assert.h> int Mysqrt(int n) { assert(n >= 0); int i; for (i = 0; i * i <= n; i++); return i - 1; } ``` 上述两种方案都可以满足同场景下的需,具体选择取决于应用场景以及性能考量等因素。
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