算法重拾之路——动态规划基础

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闲谈： 快到期末了，身为计算机专业大三学生，各种大作业缠身，到了大三，不再局限于考试了，学校更重视的是实践能力，所以各种大作业啊，并行计算、软件工程、软件综合设计 等等，有些东西，要求做的，在前两年，没有学过，于是又去学习，基本要把时间榨干了，这本书看了很多，就是一直没时间去更新。继续努力吧！

这二章    动态规划

1.基本思想

动态规划的基本思想也是 将待求解问题分解成若干子问题，先求子问题，然后从这些子问题的解 得到 原问题的解。

但是，与分治法不同的是：经过分解的子问题，往往不是 相互独立 的。（分治法往往将有些子问题，重复计算多次，动态规划，用一个表 记录 所有 已解决的子问题的答案，不管用没用到，只要计算过，就存起来 ）

2.按部就班

解动态规划问题的步骤：

1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征

2）递归地定义最优值

3）以自底向上的方式计算出最优值

4）根据计算最优值时获得的信息，构造最优解

< 上面步骤 1 ~ 3 是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求最优值的情况用1~3足够了，如果要求问题最优解，那就需要步骤4来帮忙了。>

PS: 关于最优值 和 最优解：以 矩阵连乘 为例，如果最后求 最少需要多少次乘法 ，那就是最优值；如果最后求，最少次乘法 是如何配对括号来相乘，这就是 最优解 ）

3.两个兄弟

> 兄弟：最优子结构：

· 设计动态规划算法的第一步通常是要 刻画最优解的结构。

· 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题有最优子结构性质。

· 分析一个问题是否有最优子结构性质时，所采用的方法是 普遍性：

首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题 最优解更好的解，从而导致矛盾。

· 利用问题的最优子结构性质，以  自底向上  的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。

> 兄弟：重叠子问题

· 在用递归算法  自顶向下 解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规 划算法正是利用这种子问题重叠性质，对每一个子问题，只求解一次，将解存入表格，下次用到，直接查看表 格。

4.变形之 备忘录法

备忘录方法是动态规划算法的变形，与动态规划一样，备忘录方法也是用表格存储子问题的答案。但是，与普通动态规划方法不同的是，备忘录方法的 递归方式 是  自顶向下 的，而动态规划的算法是 自底向上 的。

因此，备忘录方法的控制结构 与 直接递归的控制结构相同，区别在于，备忘录方法有表来存储子问题的答案。

一般的来讲，当一个问题的所有子问题都至少要解一次时，用动态规划方法比用备忘录方法好。此时，动态规划算法没有任何多余计算。当子问题的空间中 部分子问题可不必求解时，用备忘录方法比较有利。

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