问题 A: 装箱问题(01背包)

本文介绍了一个经典的背包问题求解算法,旨在最小化剩余空间。通过动态规划方法,文章详细解释了如何选择物品装入容量有限的背包,以达到最优装载效果。

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题目描述

【问题描述】
有一个箱子的容量为V(V为正整数,且满足0≤V≤20000),同时有n件物品(0的体积值为正整数。
要求从n件物品中,选取若干装入箱内,使箱子的剩余空间最小。
输入:1行整数,第1个数表示箱子的容量,第2个数表示有n件物品,后面n个数分别表示这n件
物品各自的体积。
输出:1个整数,表示箱子剩余空间。
【输入输出样例】
输入:
24 6 8 3 12 7 9 7
输出:
0

#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv) {
	int V, n;
	while(cin >> V >> n){
		int w[n + 1];
		int dp[V + 1];
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = V; j >= w[i]; j--){
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + w[i]);
			}
		}
		cout << V - dp[V] << endl;
	}

	return 0;
}

 

### 回答1: 01背包是一个经典的动态规划问题,用于求解在限制物品体积或重量的情况下,能够获得的最大价值。 算法流程: 1. 定义状态:f[i][j] 表示前i个物品,体积不超过j的最大价值。 2. 状态转移:f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]),其中v[i]表示物品i的体积,w[i]表示物品i的价值。 3. 边界:f[0][j] = 0,0 <= j <= V,V为背包体积。 代码实现: ``` def knapsack(v, w, V): n = len(v) f = [[0 for j in range(V+1)] for i in range(n+1)] for i in range(1, n+1): for j in range(1, V+1): if j < v[i-1]: f[i][j] = f[i-1][j] else: f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i-1]]+w[i-1]) return f[n][V] ``` 总结:01背包是一个典型的动态规划问题,通过定义状态,计算状态转移方程,以及初始化边界,即可解决该问题。 ### 回答2: 01背包问题是一个经典的动态规划问题,也是算法和编程中常见的考察点之一。给定一组物品,每个物品都有自己的重量和价值,在限定的背包容量下,选择一些物品放入背包中,使得背包中物品的总价值最大化。 解决01背包问题的常用方法是使用动态规划。我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j的情况下,能够达到的最大价值。 基本思路是,对于每个物品i,我们可以有两种选择:放入背包或者不放入背包。如果我们选择将物品i放入背包中,那么背包的容量将减少weight[i],同时总价值将增加value[i];如果我们选择不放入物品i,那么背包的容量和总价值都不会发生变化。因此,我们可以通过比较这两种选择的结果,取较大的那个来更新dp[i][j]。 具体的动态规划转移方程如下: 1. 如果物品i的重量大于背包容量j,即weight[i] > j,那么dp[i][j] = dp[i-1][j],即不放入物品i,结果和前i-1个物品相同。 2. 如果物品i的重量小于等于背包容量j,即weight[i] <= j,有两种选择: a. 放入物品i:dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i] b. 不放入物品i:dp[i][j] = dp[i-1][j],结果和前i-1个物品相同。 3. 最终的结果为dp[n][c],即在前n个物品中,背包容量为c的情况下,所能达到的最大价值,其中n为物品的总个数,c为背包的容量。 通过动态规划的思想,我们可以逐步计算出dp数组的所有值,并找出最终的结果。该方法的时间复杂度为O(n*c),空间复杂度为O(n*c)。 在实际应用中,我们可以根据题目的具体要求进行相应的优化,如利用一维数组进行降维优化、使用滚动数组减少空间复杂度等。不同的优化方法可以根据具体情况灵活运用,以提高算法的效率。 ### 回答3: 01背包问题是一种经典的动态规划问题,它是指在一组不同重量和不同价值的物品中,选择一部分物品装入背包,使得背包中物品的总价值最大,同时不能超过背包的重量限制。 解决01背包问题的关键是构建一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大价值。根据动态转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]),可以逐步更新dp数组,最终得到dp[n][W]的最大价值。 具体的实现中,我们可以使用两层循环来更新dp数组。外层循环遍历物品,内层循环遍历背包容量,通过比较选择是否将当前物品放入背包。当物品的重量小于等于背包容量时,我们可以选择放入背包,此时背包中的总价值为dp[i-1][j-w[i]]+v[i];如果不放入背包背包中的总价值为dp[i-1][j],取两者的较大值更新dp[i][j]。如果物品的重量大于背包容量,则不可能放入背包,即dp[i][j]保持不变。 最后,dp[n][W]即为所求的最大价值。可以通过反向遍历dp数组,根据dp[i][j]和dp[i-1][j]是否相等,判断物品i是否放入了背包,从而确定所选择的物品。 总之,通过动态规划的思想,我们可以解决01背包问题。这个问题有着广泛的应用,在资源分配、装箱、旅行路线规划等领域都有着重要的作用。 希望以上回答对您有所帮助!
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