原码 反码 补码

计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。
主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补
码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。
2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
数值的补码表示也分两种情况：
（1）正数的补码：与原码相同。
例如，+9的补码是00001001。
（2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码
0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。
已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：
（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取
反，然后再整个数加1。
例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负
数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。
在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
的概念：
“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范
围，即都存在一个“模”。例如：
　　时钟的计量范围是0～11，模=12。
　　表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指数】
　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的
余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：
　　　一种是倒拨4小时，即：10-4=6
　　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6
在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特
性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再
加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的
模为2(8)。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以
了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
另外两个概念
一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码
而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。

这里补充补码的代数解释：
任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)
这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。
不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。
注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。





数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题.

( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码