Codeforces #323 C. GCD Table （脑洞题、Induction）

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本文介绍了一种从乱序的GCD表恢复原始序列的算法，通过逐步确定序列中的最大元素，并从表中移除相关条目，最终重建整个序列。采用multiset或map数据结构实现算法，确保时间复杂度为O(n^2logn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:

$给出乱序的GCD\ table的n^2个元素, 恢复原来的序列$

分析:

$我们让答案a_1≤ a_2 ≤ ... ≤ a_n. 很显然gcd(a_i, a_j) ≤ min(a_i, a_）=a_{min(i, j)}.$
$由于gcd(a_n, a_n) = a_n ≥ a_i ≥ gcd(a_i, a_j), (i, j) \in1 ≤ i, j ≤ n. 也就是说a_n是最大的那个数, 我们得到a_n并把它从表里删掉.$
$现在表里的gcd(a_i, a_j), (i, j) \in1 ≤ i, j ≤ n, 都有1 ≤ min(i, j) ≤ n - 1.$
$接下来从上面那个式子, gcd(a_i, a_j) ≤ a_{min(i, j) }≤ a_{n - 1} = gcd(a_{n - 1}, a_{n - 1}). 表里有gcd(a_{n - 1}, a_{n - 1}), 那么现在最大的元素就是a_{n - 1}.$
$由于我们已经知道了a_{n-1}和a_n, 我们就把gcd(a_{n - 1}, a_{n - 1}), gcd(a_{n - 1}, a_{n }), gcd(a_{n }, a_{n - 1})从表里删去.$
$现在表里的gcd(a_i, a_j), (i, j) \in1 ≤ i, j ≤ n, 都有1 ≤ min(i, j) ≤ n - 2.$
$重复以上过程从k \in \{n-2 \to 1\}, 让a_k是表中的最大元素, 删除表中gcd(a_k, a_k), gcd(a_i, a_k), gcd(a_k, a_i) , i \in (k, n].$
$表用multiset或者map来维护, 我们就可以在O(n^2logn)时间解决问题了$

代码:
$map:$

//
//  Created by TaoSama on 2015-10-04
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 3e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, ans[505];

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        map<int, int> mp;
        for(int i = 0; i < n * n; ++i) {
            int x; scanf("%d", &x);
            ++mp[x];
        }

        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = mp.rbegin()->first;
            for(int j = 1; j <= i; ++j) {
                int x = __gcd(ans[i], ans[j]);
                mp[x] -= 2;
                if(mp[x] <= 0) mp.erase(x);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]);
    }
    return 0;
}

$multiset:$

//
//  Created by TaoSama on 2015-10-04
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 3e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, ans[505];

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        multiset<int> s;
        for(int i = 0; i < n * n; ++i) {
            int x; scanf("%d", &x);
            s.insert(x);
        }

        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = *s.rbegin();
            s.erase(--s.end());
            for(int j = 1; j < i; ++j) {
                int x = __gcd(ans[i], ans[j]);
                s.erase(s.find(x));
                s.erase(s.find(x));
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]);
    }
    return 0;
}