似然函数的详细分析----似然函数的本质意义

最新推荐文章于 2025-06-11 18:04:04 发布

lwq1026

最新推荐文章于 2025-06-11 18:04:04 发布

阅读量4w

点赞数 41

分类专栏：其他

其他专栏收录该内容

11 篇文章

订阅专栏

本文介绍了似然函数的概念及其在统计推断中的应用。似然函数是条件概率的一种逆向运用，用于根据已知观测结果估计参数。文章通过硬币投掷实验的例子详细解释了似然函数如何帮助确定最合理的参数值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。

概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而

似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作 $\mathbb{P}(A \mid B)$ 。

$P(A \mid B) = \frac{P(A , B)}{P(B)} \!$

利用贝叶斯定理，

$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)\;P(B)}{P(A)} \!$

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数 $\mathbb{L}(B \mid A)$ ，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

$b\mapsto P(A \mid B=b) \!$

注意到这里并不要求似然函数满足归一性： $\sum_{b \in \mathcal{B}}P(A \mid B=b) = 1$ 。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有 $α > 0$ ，都可以有似然函数：

$L(b \mid A) = \alpha \; P(A \mid B=b) \!$

例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是 $p H = 0.5$ ，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：

$P(\mbox{HH} \mid p_H = 0.5) = 0.5^2 = 0.25$

其中H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有 $p H$ 的概率正面朝上，而有 $1 - p H$ 的概率反面朝上。这时，条件概率可以改写成似然函数：

$L(p_H = 0.5 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.5) =0.25$

也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时， $p H = 0.5$ 的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时 $p H = 0.5$ 的概率是0.25）。

如果考虑 $p H = 0.6$ ，那么似然函数的值也会改变。

$L(p_H = 0.6 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.6) =0.36$

注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数 $p H$ 的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设 $p H = 0.5$ 时更大。也就是说，参数 $p H$ 取成0.6 要比取成0.5 更有说服力，更为“合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：