[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))

[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))

tashj @ 2006-07-19 22:12

发信人 : goodhorsezxj (Eyes of Moon), 信区 : ACM
标  题 : （ zz)[ 转载 ] 约瑟夫问题的数学方法 (O(n))
发信站 : 天大求实 BBS (Tue Jun 13 17:19:13 2006), 本站 (bbs.tju.edu.cn)

发信人 : kelefe ( 混沌中立 ), 信区 : ACMICPC
标  题 : 【合集】 [ 转载 ] 约瑟夫问题的数学方法 (O(n))
发信站 : 逸仙时空 Yat-sen Channel (Tue Jun  6 16:40:57 2006), 站内信件

──── yanjunwei (Sat Jun  3 21:22:00 2006)   ───────────

【 以下文字转载自 yanjunwei 的信箱 】
【 原文由 yanjunwei 所发表 】

约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]
 
看到这个想起了去年的省赛上，我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了，一直是 WA ，出了赛场才发现并
不是真正的约瑟夫问题。

对于约瑟夫问题，今天看到了一篇好帖子，是用数学方法处理的，感觉还不错的

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂
度高达 O(nm) ，当 n ， m 非常大 ( 例如上百万，上千万 ) 的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述： n 个人（编号 0~(n-1)) ，从 0 开始报数，报到 (m-1) 的退出，剩下的人继续从 0 开始报数。求胜利者的编号
。

我们知道第一个人 ( 编号一定是 m%n-1) 出列之后，剩下的 n-1 个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为 k=m%n 的人开
始） :
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从 k 开始报 0 。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了 (n-1) 个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如 x 是最终的胜利者，那么根
据上面这个表把这个 x 变回去不刚好就是 n 个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来： x'
=(x+k)%n

如何知道 (n-1) 个人报数的问题的解？对，只要知道 (n-2) 个人的解就行了。 (n-2) 个人的解呢？当然是先求 (n-3) 的
情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令 f[i] 表示 i 个人玩游戏报 m 退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是 f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从 1-n 顺序算出 f[i] 的数值，最后结果是 f[n] 。因为实际生活中编号总是从 1 开始，
我们输出 f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个 f[i] ，程序也是异常简单：

＃ include <stdio.h>

main()
{
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d/n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为 O(n) ，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算 n ， m 等于一百万，一千万的情况不是问题
了。