bzoj4589: Hard Nim FWT

bzoj4589: Hard Nim

Description

Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：
1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。
2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。
不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。
Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。
由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

Input

输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。
对于每组数据：
共一行两个正整数n和m。
每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。
不超过80组数据。

Sample Input

3 7
4 13

Sample Output

6
120

分析

算法详解：FWT

这是一个很神奇的玩意儿
用来解决：$C_k=\sum_{i \otimes j=k}A_i \cdot B_j$
也就是异或和卷积。
当然你也可以把异或运算换成或和与运算。
基础的思路和$FFT$差不多，都是分治。
我们希望找到一种变换$tf$，使得。
$tf(C_i)=tf(A_i)\cdot tf(B_i)$
对于异或
$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_0)-tf(A_1))$
$utf(A)=utf(\frac{A_0+A_1}{2},\frac{A_0-A_1}{2})$
对于与
$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_1))$
$utf(A)=utf(A_0-A_1,A_1)$
对于或
$tf(A)=(tf(A_0), tf(A_1)+tf(A_1))$
$utf(A)=utf(A_0, A_1-A_0)$
证明可以看这里
闷声背公式就好了，这篇blog只是凑个数，逃）

例题详解

原题要求的就是取n个不大于m的素数异或为0的方案数。
把每个不大于0的素数下标置为1，FWT后卷积n次即可。

代码

#include<cstdio>
const int N = 65536, P = 1e9 + 7, Tw = P + 1 >> 1;
int pr[N], a[N], tp, L; bool v[N];
int Ad(int a, int b) {a += b; return a >= P ? a - P : a;}
int Dc(int a, int b) {a -= b; return a < 0 ? a + P : a;}
void Tm(int &a, int b) {a = 1LL * a * b % P;}
void Pre(int n) {
    v[0] = v[1] = true;
    for(int i = 2;i <= n; ++i) {
        if(!v[i]) pr[++tp] = i;
        for(int j = 1;j <= tp && i * pr[j] <= n; ++j) {
            v[i * pr[j]] = true;
            if(!(i % pr[j])) break;
        }
    }
}
void Fwt(int *F, int f) {
    for(int i = 1; i < L; i <<= 1)
        for(int j = 0; j < L; j += i << 1)
            for(int l = 0; l < i; ++l) {
                int x = F[j + l], y = F[j + l + i];
                F[j + l] = Ad(x, y); F[j + l + i] = Dc(x, y);
                if(!~f) Tm(F[j + l], Tw), Tm(F[j + l + i], Tw);
            }
}
int pw(int x, int k) {int r = 1; for(;k; Tm(x, x), k >>= 1) if(k & 1) Tm(r, x); return r;}
int main() {
    Pre(5e4); int n, m;
    for(;~scanf("%d%d", &n, &m);) {
        for(L = 1; (L <<= 1) <= m;) ;
        for(int i = 0; i < L; ++i) a[i] = (!v[i]) & (i <= m);
        Fwt(a, 1);
        for(int i = 0;i < L; ++i) a[i] = pw(a[i], n);
        Fwt(a, -1); 
        printf("%d\n", a[0]);
    }
    return 0;
}