Count（hdu 6470 矩阵快速幂含关于n的多项式）

最新推荐文章于 2020-07-24 09:47:42 发布

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#矩阵快速幂含关于n的多项式

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博客围绕hdu 6470 Count题目展开，已知递推式f[n] = 2*f[n-2] + f[n-1] + n^3（n<=1e18）求f[n]。通过分析计算f[n+1]时所需项，构造出相应矩阵，最后使用矩阵快速幂求解该递推式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：

hdu 6470 Count

题意：

f[n] = 2*f[n-2] + f[n-1] + n^3，n<=1e18，求f[n] 。

思路：

在计算 f[n+1] 的时候， $n^{3}$ 要变为 $(n+1)^{3} = n^{3}+3n^{2}+3n+1$ ，所以构造的矩阵中需要有这几项，然后因为引入了 $n^{2}$ ，所以 $3n^{2}$ 要变为 $3(n+1)^{2} = 3n^{2}+6n+3$ ，因为 $n^{2}$ 项、 $n$ 项、常数项都已经存在，所以不需要引入新的项，其余各项均可通过这几项计算出。因此，构造的矩阵为：

$[f[2],f[1],3^{3},3*3^{2},3*3,1]$ * $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2& 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 & 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ 。

使用矩阵快速幂求解即可。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e6 + 20;
const int mod = 123456789;

ll n;

typedef struct {
	ll m[10][10];
}Matrix;

Matrix Mul(Matrix a, Matrix b)
{
	Matrix c;
	memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 6; j++)
		{
			for (int k = 0; k < 6; k++)
			{
				c.m[i][j] += ((a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod + mod) % mod;
				c.m[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	return c;
}

Matrix fastm(Matrix a, ll num)
{
	Matrix res;
	memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
	for (int i = 0; i < 6; i++)
		res.m[i][i] = 1;
	while (num)
	{
		if (num & 1)
			res = Mul(res, a);
		num >>= 1;
		a = Mul(a, a);
	}
	return res;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	Matrix a;
	memset(a.m, 0, sizeof(a.m));
	a.m[0][0] = 1, a.m[0][1] = 1;
	a.m[1][0] = 2;
	a.m[2][0] = 1, a.m[2][2] = 1;
	a.m[3][2] = 1, a.m[3][3] = 1;
	a.m[4][2] = 1, a.m[4][3] = 2, a.m[4][4] = 1;
	a.m[5][2] = 1, a.m[5][3] = 3, a.m[5][4] = 3, a.m[5][5] = 1;
	ll st[10];
	st[0] = 2, st[1] = 1, st[2] = 27, st[3] = 27, st[4] = 9, st[5] = 1;
	while (T--)
	{
		scanf("%lld", &n);
		n -= 2;
		Matrix b = fastm(a, n);
		ll ans = 0;
		for (int i = 0; i < 6; i++) {
			ans = (ans + b.m[i][0] * st[i] % mod) % mod;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}