Cylinder Candy（zoj 3866 旋转体体积和表面积）

最新推荐文章于 2024-09-17 06:00:53 发布

luyehao1

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分类专栏： ACM-计算几何文章标签：旋转体体积和表面积积分

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本文详细解析了给定圆柱体糖果，在其表面均匀涂抹巧克力后的体积与表面积计算方法。通过数学积分法，计算了巧克力涂层的体积和表面积，并提供了完整的代码实现。

题目链接：

Cylinder Candy

题意：

有一个圆柱体的糖果，底面半径为r，高为h。现在在它外面涂一层均匀的巧克力，厚度为d。求涂完巧克力后该糖果的体积和表面积。

思路：

所求的糖果并不是一个圆柱，因为厚度均匀为d，那么在顶部会出现圆弧。

可以看出，中间部分任为圆柱，只是半径变为（r+d），顶部则为一个旋转体（底部同）。

此图为旋转体的截面图。

体积：

关于x积分，可以看出x的范围是[0,d]，对于每个dx，该旋转体都为一个圆，半径为 $\sqrt{d^{2}-x^{2}}+r$ 。

$\therefore V1 = \int_{0}^{d} \pi (\sqrt{d^{2}-x^{2}}+r)^{2}dx$

$= \pi (\int_{0}^{d}(d^{2}+r^{2})dx-\int_{0}^{d}x^{2}dx+2r\int_{0}^{d}\sqrt{d^{2}-x^{2}}dx)$

其中： $\int_{0}^{d}\sqrt{d^{2}-x^{2}}dx = \frac{\pi d^{2}}{4}$

$\therefore V1 = \pi (\frac{2}{3}*d^{3}+r^{2}d+\frac{\pi rd^{2}}{2})$ （此为顶部旋转体体积）

${\color{Red} \therefore V = 2V1 +\pi (r+d)^{2}h}$

表面积：

旋转体表面积公式： $S = \int_{0}^{d}2\pi f(x)*\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$ ，f(x)为半径表达式。

该旋转体 $f(x) = \sqrt{d^{2}-x^{2}}+r$ 。

$\therefore f'(x) = \frac{1}{2}(d^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}*(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{d^{2}-x^{2}}}$ 。

$\therefore\sqrt{1+f'(x)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{d^{2}-x^{2}}} = \sqrt{\frac{d^{2}}{d^{2}-x^{2}}} = \frac{d}{\sqrt{d^{2}-x^{2}}}$ 。

$\therefore S1 = 2\pi \int_{0}^{d}(\sqrt{d^{2}-x^{2}}+r)*\frac{d}{\sqrt{d^{2}-x^{2}}}dx$

$= 2\pi (\int_{0}^{d}d dx+dr\int_{0}^{d}\frac{1}{\sqrt{d^{2}-x^{2}}}dx)$

查积分表： $\int\frac{1}{\sqrt{d^{2}-x^{2}}}dx = arcsin\frac{x}{a}+C$ ，所以在定积分[0,d]范围下，其值为 $\frac{\pi }{2}$ 。

$\therefore S1 = 2\pi (d^{2}+d*r*\frac{\pi }{2}) = 2\pi d^{2}+dr\pi ^{2}$ 。（此为顶部旋转体表面积）

${\color{Red} \therefore S = 2S1+2\pi (d+r)h+2\pi r^{2}}$ 。（再加上中间圆柱体侧面积和最顶部和最底部的圆面积）

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const double pi = acos(-1);

double r, h, d;

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lf%lf%lf", &r, &h, &d);
		double v = 4.0 / 3 * pi*d*d*d + 2 * pi * r*r*d + pi * pi*d*d*r + pi * (r + d)*(r + d)*h;
		double s = 4 * pi*d*d + 2 * d*r*pi*pi + 2 * pi*(d + r)*h + 2 * pi*r*r;
		printf("%.12lf %.12lf\n", v, s);
	}
	return 0;
}