beautiful number(HDU 5179 数位DP)

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#beautiful number #hdu 5179 #数位DP #DFS

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本文介绍了一种特殊的数字——Beautiful Number，并提供了一种基于数位DP的方法来解决如何计算两个给定区间内这种特殊数字的数量问题。Beautiful Number的定义包括递减特性与整除条件，文章通过详细的算法步骤和代码实现帮助读者理解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

beautiful number

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Problem Description

Let

A=∑ni=1ai∗10n−i(1≤ai≤9)(

n is the number of

A's digits). We call

A as “beautiful number” if and only if

a[i]≥a[i+1] when

1≤i<n and

a[i] mod

a[j]=0 when

1≤i≤n,i<j≤n(Such as 931 is a "beautiful number" while 87 isn't).
Could you tell me the number of “beautiful number” in the interval

[L,R](including L and R)?

Input

The fist line contains a single integer

T(about 100), indicating the number of cases.
Each test case begins with two integers

L,R(1≤L≤R≤109).

Output

For each case, output an integer means the number of “beautiful number”.

Sample Input

2
1 11
999999993 999999999

Sample Output

10
2

//题意：

给一个数A，a[i]表示它 i 位上的数字，若a[i]>=a[i+1] (1<=i<n)且a[i] % a[j]==0(1<=i<j<=n)，我们称数A为beautiful number。现在给你L,R，求[L,R]上beautiful number的个数。

//思路：

简单的数位DP+记忆化搜索：

定义一个二位DP数组：dp[i][j] : i 表示数位，j 表示该位前一位数字的值。

设第 i 位的值为num，它前一位的值为front，那么若满足front%num==0说明到目前为止是可行的，否则的话有这个前缀的所有数都不满足要求。（如果front<num，那么front%num的值必不可能==0）；

此外，只有首位能取0，即若该数位前面的数位有非0值，那么此位及它后面的数位的值一定不能取0。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int cnt;
int bit[20];
int dp[20][20];

int dfs(int pos, int front, int mod, int flag)
{
	if (pos <= 0)
		return (mod == 0);
	if (!flag&&dp[pos][front] != -1)
		return dp[pos][front];
	int num = flag ? bit[pos] : 9;
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= num; i++)
	{
		if (i == 0 && pos < cnt&&front != 0)
			continue;
		else if (pos == cnt || front == 0)
		{
			//0不能取
			if (i == 0 && pos == 1)
			{
				mod = 1;
				continue;
			}
			else
				mod = 0;
		}
		else
		{
			if (front%i == 0)
				mod = 0;
			else
			{
				mod = 1;
				continue;
			}
		}
		ans += dfs(pos - 1, i, mod, flag&&i == num);
	}
	if (!flag)
		dp[pos][front] = ans;
	return ans;
}

int solve(int num)
{
	cnt = 0;
	memset(bit, 0, sizeof(bit));
	while (num)
	{
		bit[++cnt] = num % 10;
		num = num / 10;
	}
	int ans;
	if (cnt == 0)
		ans = 0;
	else
		ans = dfs(cnt, 10, 0, 1);
	return ans;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	while (T--)
	{
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);  
		int ans1 = solve(r);
		int ans2 = solve(l - 1);
		printf("%d\n", ans1 - ans2);
	}
	return 0;
}