组合数学学习笔记

错位排序

n个物品，每个物品都不在对应的位置上，即对于任意的i∈[1,n],均有第i个物品不在i位置上的方案数。

令$dp[i]$表示前i个物品的错排方案数，递推解决问题。

对于第n个物品，我们假设$dp[1]-dp[n-1]$都已经处理好了，那么这个物品会有两种情况：
1.前n-1个物品已经错排好了，那么这个物品只用和前面任意一个物品交换位置即可，即$dp[n]=(n-1)\ast dp[n-1]$
2.前n-1个物体有一个在自己的位置上，剩下n-2个物品错排好了，那就只能把第n个物品和那个在自己位置上的物品交换，即$dp[n]=(n-1)\ast dp[n-2]$
所以综上，$dp[n]=(n-1)\ast (dp[n-1]+dp[n-2])$

特殊数列

第一类斯特林数：

​ n个物体排成k个非空环的方案数
​ 令所求的为$dp[n][k]$，前面的都已经求好了。
​ 那么有两种情况：
​ 1.自己成一个环，那么之前有k-1个环：$dp[n][k]=dp[n-1][k-1]$
​ 2.前面已经有k个环，只需要把这个物体加到前面的空位里面，因为前面有n-1个物体，所以有n-1个空位，
​ 所以$dp[n][k]=dp[n-1][k]\ast (n-1)$
​ 综合来看，$dp[n][k]=(n-1)\ast dp[n-1][k]+dp[n-1][k-1]$。

第二类斯特林数

​ 将n个不同物体放在k个集合中的方案数
​ $dp[n][k]$为状态，同上，$dp[i][j]=do[i-1][j-1]+dp[i-1][j]\ast j$

卡特兰数及其应用

何为卡特兰数

引入例题：

​ 如图，在一个4*4的网格中，我们从左下角走到右上角且不越过对角线的方案数是多少？

​

​

​ 。
分析：我们不妨计算出总方案数，减去越过对角线的非法方案数
​ 总方案数：$c(2n,n)$

下面我们来分析非法方案数：如上图，一条非法路线一定经过对角线上面某一个点，假设它第一次越过对角线的时候的那个点为x点（即上图的蓝红绿三线交点），做出绿线，然后将红线沿着绿线对称，得到的蓝线不妨看作是从$(0,0)$到$（n-1,n+1)$的一个方案数，而且对于每一个非法的路径，均有一条蓝线与之对应，所以，不合法方案数为$c(2\ast n,n-1)$。

所以说，卡特兰数的公式为$f(n)=c(2\ast n,n)-c(2\ast n,n-1)$。