深度学习基础（五）Softmax Regression

最新推荐文章于 2017-08-07 22:00:16 发布

luxialan

最新推荐文章于 2017-08-07 22:00:16 发布

阅读量891

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：深度学习

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/luxialan/article/details/43982893

本文介绍了Softmax Regression，它是Logistic Regression的推广。内容包括Softmax Regression的数学公式，其过参数化的特性，以及在训练过程中的代价函数、梯度检查和模型训练。提供了一个用L-BFGS优化的训练函数softmaxTrain，用于训练softmax模型。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Softmax Regression

Softmax Regression是 Logistic Regression的推广

假设我们有训练集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$

Logistic Regression:

对于每个特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ ，标签 $y^{(i)} \in \{0,1\}$

$\begin{align}h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},\end{align}$

$\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}$

$\begin{align}J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\&= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right]\end{align}$

Softmax Regression:

对于每个特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ ，标签 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$

$\begin{align}h_\theta(x^{(i)}) =\begin{bmatrix}p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\\vdots \\p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)\end{bmatrix}=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\\vdots \\e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\\end{bmatrix}\end{align}$

$\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}$