01背包问题的理解

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3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

• 包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

• 还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝

如何理解这两条呢？首先：

Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值。

这是原话，这样的话这两条的理解如下：

V(i,j)=V(i-1,j)意味着当当前背包容量低于物品体积时，价值与前i-1个商品在背包j体积下最大价值相同。

V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝意味着当当前背包容量大于物品体积时，将前i-1个商品在背包j体积下最大价值，与前i-1个商品在背包j-w(i)容量的最大价值加上第i个物品价值，进行比较。

j-w(i)指的是：去掉当前物品的体积后的剩余背包容量。