算法-树（2）—深入红黑树

本篇文章主要介绍2-3树，并由2-3树重点介绍RB树（红黑树）
后附完整代码

2-3树

1. 2-3树
2-3树概念：
一颗2-3查找树，或为空树，或为由2-结点，3-结点构成的树。
2-结点：含有一个键值对和两个链接，左链接的结点均小于该结点，右链接的结点均大于该结点。
3-结点：含有两个键值对和三个链接，左链接的结点小于该节点的小的键值，中链接介于该结点的两个键值之间，右链接大于改结点的大的键值。
2. 2-3树的查找添加
1）.查找：
参照上一篇文章，实现较为简单，即比较需要查找的key值和x.left，x.right比较，递归实现。
2）.添加：
添加首先需要查找添加到的正确位置；
然后主要两类（其他都可以由这两个变换出）：
一：添加到空结点—直接添加，或者向2-结点添加（2-结点变为3-结点实现）；
二：向3-结点的树增加新键值，1.创建一个4-结点，2.将4-结点分解为两个2-结点树；
<如向一个父结点为3-结点的3-结点添加新键值，同样先变为4-结点，再递归往上变为3-结点，若递归到跟结点仍为4-结点，则直接分解根结点>

红黑树

红黑树背后的基本思想是用标准的二叉查找树（完全由2-结点构成），和一些额外的信息（红链接表示3-结点，黑链接表示2-3树的普通链接）。

在阅读本文前，要摆脱的思想是，红链接并非是一个2-结点所有的，一个红链接，它是两个2-结点构成的。

因此下文所说到的红链接，其实就是两个2-结点，一个3-结点，其实也就是一个红链接，而并非Node结构中多出Mid引用！
（而4-结点呢？自然就是两个红色链接了）

1.红黑树定义
其中，其满足以下三个含有红黑链的二叉查找树：
1>红链接均为左链接；
2>没有任何一个结点是同时由两个红链接组成；
3>该树是完美黑色平衡（即：任意空链接到根结点路径上的黑链接数目相同）。

红黑树的添加

红黑树和2-3树？
如图：

是不是很有关系了。

为什么会有红黑树的旋转操作？为什么会有左右旋转和颜色转换？
因为必须保证树是完美黑色平衡的。
所以在涉及红黑树的操作，如增加时：
我们必须保证刚刚增加的结点的链接颜色是红色的。（这样递归增加这样的结点时候，树就是红黑树了）
假如我们刚刚增加的结点是大于根结点的，这个时候就需要用到左旋转了。
而右旋转则是因为存在两条连续的红色左链接，所以这时候需要右旋转后再左旋转。

红黑树的旋转
正是因为有了两个变换过程，所以保证了红黑树的前两个定义。
而第三个颜色转换，使得对于红黑树来说，红链接更少，而黑链接更多，从而大大提高效率。（因为增加删除都是对于红链接操作的，这就是红黑树效率高于AVL树的原因之一）

1）.左旋转
存在右边链接为红色的结点。
实现如下：

    private Node rotateLeft(Node h)
    {
        Node x = h.right;
        h.right = x.left;
        x.left = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        x.N = h.N;
        h.N = size(h.left) + size(h.right)+1;
        return x;
    }

2）.右旋转
存在两条连续的左链接为红色。
如：x.left = RED && x.left.left = RED;
实现：

    private Node rotateRight(Node h)
    {
        Node x = h.left;
        h.left = x.right;
        x.right = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        x.N = h.N;
        h.N = size(h.left) + size(h.right)+1;
        return x;
    }

3）.颜色转换

    // flip the colors of a node and its two children
    private void flipColors(Node h) {
        // h must have opposite color of its two children
        // assert (h != null) && (h.left != null) && (h.right != null);
        // assert (!isRed(h) &&  isRed(h.left) &&  isRed(h.right))
        //    || (isRed(h)  && !isRed(h.left) && !isRed(h.right));
        h.color = !h.color;
        h.left.color = !h.left.color;
        h.right.color = !h.right.color;
    }

以下是三个变换过程：

添加操作put实现：

    private Node put(Node h, Key key, Value val)
     { 
        //Recursive comparison the node insertion location
        //添加的结点,显然是要设置为红色
        if (h == null) 
            return new Node(key, val, 1, RED);

        int cmp = key.compareTo(h.key);
        if      (cmp < 0) 
            h.left  = put(h.left,  key, val); 
        else if (cmp > 0) 
            h.right = put(h.right, key, val); 
        else             
            h.val   = val;

        //每一次递归增加元素，都需要修复红黑树，以保证三个定义.
        // fix-up any right-leaning links
        if (isRed(h.right) && !isRed(h.left))     
            h = rotateLeft(h);
        if (isRed(h.left)  &&  isRed(h.left.left)) 
            h = rotateRight(h);
        if (isRed(h.left)  &&  isRed(h.right))    
            flipColors(h);
        h.N = size(h.left) + size(h.right) + 1;

        return h;
    }

如下图过程：

红黑树删除

删除操作时，我们必须保证删除的不是2-结点，因为2-结点删除后形成一个空链接，从而破坏了红黑树的第三个定义。

1. 2-3-4树的插入算法
<此算法实现沿路径既能向上也能向下进行变换的操作>
分为两部分：
1>向下变换
保证当前结点不是4-结点，当遇到父结点为2-结点的4-结点，将4-结点分为两个2-结点，并且将中间键值传给父结点（父结点变为3-结点）； 当遇到父结点为3-结点的4-结点，同样将上一操作（此时父结点变为4-结点——用向上变换摊平）。
2>向上变换
将之前创建的4-结点配平（分解为三个2-结点，高度增加1）。
此算法在红黑树上的实现：
1>将4-结点分解为三个2-结点子树，用红链接连接起来；
2>向下过程（递归过程）将所有4-结点进行颜色转换；
3>向上过程，分解旋转分解所有4-结点（配平）。
2. 删除最小键
由红黑树的第三个定义可以知道，删除键时，假如删除的是2-结点，会形成一个空链接，从而导致第三个定义不符合。因此，删除红黑树键时，当前结点必须是3-结点（即：只能在红链接中删除）。
完成以上要求的，必须满足一下情况之一：
1>假如当前结点不是2-结点；
2>当前结点的左子结点是2-结点，而当前结点的兄弟结点不是2-结点，此时需要借一个结点进行删除操作；
3>如果当前结点的左结点和它的亲兄弟结点都是2-结点，则将左子结点，父结点中的最小键和左子结点最近的兄弟结点合并为一个4-结点，使得父结点由3-结点变为2-结点或者由4-结点变为3-结点。
（如下图的第四个变换）
三个过程如下图：

实现如下：

    public void deleteMin()
    {
        if(!isRed(root.left) && !isRed(root.right))
            root.color = RED;
        root = deleteMin(root);
        if(!isEmpty())
            root.color = BLACK;
    }

    private Node deleteMin(Node h)
    {
        //最开始递归由上至下是吧,即由树根到叶子的过程
        if(h.left == null)
        //可能有人会疑问,为什么递归结束条件不是h == null.
        //因为是不存在h,和h.right的这样两个结点的子树.
            return null;
        /**
         * 既然知道了h.left==null,
         * 是不是这个时候我们就要看一下h这个结点是不是3-结点或者是4-结点呢,
         * 因为前面已经说过,我们的删除操作是必须要在非2-结点中进行
         */
        if(!isRed(h.left) && !isRed(h.left.left))
            h = moveRedLeft(h);  
        h.left = deleteMin(h.left);
        //下面这个balance自然就是向上使用旋转配平啦
        return balance(h);
    }

其中moveRedLeft如下：

    private Node moveRedLeft(Node h)
    {
        /**filpColors?为什么呢?
          *因为我们不是要构造3-结点或者4-结点的吗
          *而此时我们也不要忘了，递归是由上至下的
          *所以filpColors构造依次构造临时4-结点罢了
          */
        flipColors(h);
        /**
         * 别忘了deleteMin的if判断语句
         * 它只是判断了h.left && h.left.left两个结点false(null也是false)
         * 所以呢,最小值可能存在于h的右子树当中吧
         * 因此呢,对于右子树，我们也是要配4-结点的
         */
        if(isRed(h.right.left))
        {
            h.right = rotateRight(h.right);
            h = rotateLeft(h);
        }
        return h;
    }

再贴一个moveRedRight（删除最大值或者任意值用到）

    private Node moveRedRight(Node h)
    {
        flipColors(h);
        if(!isRed(h.left.left))
            h = rotateRight(h);
        return h;
    }

其中banlance函数（删除后，修复红黑树）实现如下：

    /**
     * balance函数,相对于put操作的配平,是不是有点差异呢
     * 其实都是可以的,差异只是:put操作的配平的第一个if判断,仅会将3-结点配平
     * 而在这里的if,3-结点和4-结点都在第一个if进行首先配平了
     * @param h
     * @return
     */
    private Node balance(Node h)
    {
        if(isRed(h.right))
            h = rotateLeft(h);
        if(isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
            h = rotateRight(h);
        if(isRed(h.left) && isRed(h.right))
            flipColors(h);

        h.N = size(h.left)+size(h.right)+1;
        return h;   
    }

删除最大值当然就类似，下面直接讨论删除任意值。

3. 删除任意键
只要领悟了删除最小值，删除任意值，也就不难了。
与删除最小键值类似，必须确保删除的结点不是2-结点。
1>当删除节点是位于底部时，可以直接删除；不是底部，则和上一篇文章，删除二叉搜索树的结点类似。
2>假如不在底部，删除后我们显然要在它的子树中找到最小值进行替换
3>问题就变成了在一颗根结点不是2-结点的子树中删除最小值了。
4>删除后，仍需使用回溯并分解剩余的4-结点。
实现：

 public void delete(Key key) { 
        if (get(key) == null)  //需要删除的键值存不存在呢？
            return;
        if (!isRed(root.left) && !isRed(root.right))
            root.color = RED;
        root = delete(root, key);
        if (!isEmpty()) root.color = BLACK;
    }
    private Node delete(Node h, Key key) { 
        if (key.compareTo(h.key) < 0)  {
            //和删除最小值类似
            if (!isRed(h.left) && !isRed(h.left.left))
                h = moveRedLeft(h);
            h.left = delete(h.left, key);
        }
        else {
            //咦？左子树有一个红链接？那右子树是不是肯定比左子树高度少1了(不可能左右都是红链接)
            //deleye(h.right,key)？那不行了，这样左右子树肯定不是黑色平衡了
            if (isRed(h.left))
                h = rotateRight(h);
                //根结点就可以直接删除了
            if (key.compareTo(h.key) == 0 && (h.right == null))
                return null;
                //
            if (!isRed(h.right) && !isRed(h.right.left))
                h = moveRedRight(h);
                //这个就是非根结点的删除了
            if (key.compareTo(h.key) == 0) {
                Node x = min(h.right);
                h.key = x.key;
                h.val = x.val;
                h.right = deleteMin(h.right);
            }
            else h.right = delete(h.right, key);
        }
        return balance(h);
    }

参照网站:http://algs4.cs.princeton.edu/30searching/

算法第四版