【AT987】高橋君【组合数】【莫队】

最新推荐文章于 2023-10-04 18:58:50 发布

Lstdo

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/luositing/article/details/98516678

本文探讨了莫队算法在解决特定组合数学问题中的应用，通过动态转移的方法优化了对大规模数据集的处理效率。针对TTT组询问NNN个相同物品选不超过KKK个的方案数问题，提出了利用莫队算法进行高效求解的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

题意： $T$ 组询问 $N$ 个相同物品选不超过 $K$ 个的方案数， $\leq 1e5$

设 $f(x,y)=\sum_{i=0}^{y}C_x^i$ 即所求

直接求并没有很好的性质

但我们发现: $f(x,y)=2f(x-1,y)-C_{x-1}^y$ ，即乘以二减去最后一个等于下一行

由 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ ,只有最后一个出现一次，其余出现两次

而 $f (x, y) 到$ $\pm 1)$ 很好转移

然后跑莫队即可

复杂度 $\sqrt{T})$

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
#define MAX 100000
inline int read()
{
	int ans=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
const int MOD=1e9+7;
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{
	int ans=1;
	while (p)
	{
		if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;
		a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;
	}
	return ans;
}
int fac[MAXN],inv[MAXN];
void init()
{
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=MAX;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;
	inv[MAX]=qpow(fac[MAX],MOD-2);
	for (int i=MAX-1;i>=0;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
inline int C(const int& n,const int& m){return (ll)fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;}
int len;
struct query{int x,y,pos;}q[MAXN];
int res[MAXN];
inline bool operator <(const query& a,const query& b)
{
	if (a.x/len==b.x/len) return a.y<b.y;
	return a.x<b.x;
}
int main()
{
	init();
	int T,n=0;
	T=read();
	for (int i=1;i<=T;i++) n=max(n,q[i].x=read()),q[i].y=read(),q[i].pos=i;
	len=sqrt((ll)n*n/T);
	sort(q+1,q+T+1);
	int x=q[1].x,y=q[1].y,ans=0;
	for (int i=0;i<=y;i++) ans=(ans+C(x,i))%MOD;
	res[q[1].pos]=ans;
	for (int i=2;i<=T;i++)
	{
		while (x<q[i].x) ans=(ans*2ll-C(x,y)+MOD)%MOD,++x;
		while (x>q[i].x) --x,ans=(ll)inv[2]*(ans+C(x,y))%MOD;
		while (y<q[i].y) ++y,ans=(ans+C(x,y))%MOD;
		while (y>q[i].y) ans=(ans+MOD-C(x,y))%MOD,--y;
		res[q[i].pos]=ans;
	}
	for (int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",(res[i]+MOD)%MOD);
	return 0;
}