【CF1215E】Marbles【状压DP】

传送门

题意：给一个长为$N$的序列$a$，每次操作交换两个相邻位置，求最少操作次数使得所有相同的值连成一片。

$N\le 400000$,$a_i\le 20$

我们发现$a_i$很小，盲猜单独考虑

我们重新确认一个宏大的时空观

把所有位置按值分组，然后一组一组加进去。在某一组没有加之前，这个位置是不存在的，即1 3 2在没有加3时，1 2是相邻的。

设$cnt[i][j]$表示只有$i$和$j$两组数时，把所有$i$移到$j$的前面的最小操作次数

这个可以暴力枚举$i$和$j$，然后双指针即可

考虑状压

设$dp[S]$表示当前加入的数的状态为$S$的最小操作次数 我们新加一个数时，把散装的都移到最前面。因为$cnt$是单独考虑的，所以加起来就可以了

即

d p [ S ] = min ⁡ i ∈ S { d p [ S − { i } ] + ∑ j ∈ S , i ≠ j c n t [ i ] [ j ] } dp[S]=\min_{i \in S}\{dp[S-\{i\}]+\sum_{j\in S,i\neq j}cnt[i][j]\} dp[S]=i∈Smin​{dp[S−{i}]+j∈S,i​=j∑​cnt[i][j]}

最后的$dp[2^n-1]$即答案

复杂度$O(n{a}^2+2^a{a}^2)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int ans=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
vector<int> v[20];
ll cnt[20][20],dp[1<<20];
int main()
{
	int n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) v[read()-1].push_back(i);
	for (int i=0;i<20;i++)
		for (int j=0;j<20;j++)
			if (i!=j)
			{
				int pos=-1;
				for (int k=0;k<v[i].size();k++)
				{
					while (pos+1<v[j].size()&&v[j][pos+1]<v[i][k]) ++pos;
					cnt[i][j]+=pos+1;
				}
			}
	dp[0]=0;
	for (int s=1;s<(1<<20);s++)
	{
		dp[s]=1e18;
		for (int i=0;i<20;i++)
			if (s&(1<<i))
			{
				ll sum=0;
				for (int j=0;j<20;j++)
					if (s&(1<<j))
						sum+=cnt[i][j];
				dp[s]=min(dp[s],dp[s^(1<<i)]+sum);					
			}	
	}
	cout<<dp[(1<<20)-1];
	return 0;
}