hdu5105 Math Problem

最新推荐文章于 2019-12-18 11:24:16 发布

Enstein_Jun

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分类专栏：数学

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本文详细解析高中数学题中关于函数极值与区间最值的求解方法，针对不同类型的函数提供了具体的求解步骤，包括线性函数、二次函数和三次函数等，并通过代码实现了解题过程。

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这道题其实说白了就是一道高中的数学题。对于绝对值得最大值无非就是，两端点或者两顶点。因此我们只需分别讨论一下即可。

1、a = 0时，此时函数为 f(x) = bx² + cx+d

①b = 0 时，此时方程变成 f(x) = cx + d,此时函数为线性变化，故最值出现两端点处。

②b ≠ 0 时，此时方程为 f(x) = bx² + cx + d,此时函数变为二次函数。

此时函数的最值在对称轴 z = -c/2b 或两端点。

2、a ≠ 0 时，函数为 f(x) = ax³ + bx² + cx + d,这种情况稍稍麻烦一些，这时需要借助导数来判断。

函数的导数为 f'(x) = 3ax² + 2bx + c, Δ = (2b)² - 4*3a*c = 4(b²-3ac).

①当 Δ ≤ 0 时，f(x)为单调函数，故最值出现在两端点

②当 Δ > 0 时，令 f'(x) = 0 =＞ x1 = (-sqrt(Δ) - 2b)/(2*3a),x2 = (sqrt(Δ) - 2b)/(2*3a)

(ⅰ)当 x1,x2都在区间 [L,R] 内,则最值在 f(L),f(R),f(x1),f(x2)之中

(ⅱ)当x1或x2只有一个在 [L,R]内时，则最值在 f(L),f(R),f(x1)或f(x2)之中

(ⅲ)当x1,x2均不在区间[L,R]内，则最值在 f(L),f(R)之中

代码如下：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

double a,b,c,d,L,R;
double disc,x1,x2,z;
double max(double a,double b){
    return a>b?a:b;
}

double f(double x){
    if( x>=L && x<=R )
        return fabs(a*x*x*x + b*x*x + c*x + d);
    return -1;
}

int main(){
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R)==6){
        if(a!=0){
            disc = b*b-3*a*c;
            if(disc<=0){
                printf("%.2f\n",max(f(L),f(R)));
            }else{
                x1=(-sqrt(disc)-b)/(3*a);
                x2=(sqrt(disc)-b)/(3*a);
                printf("%.2f\n",max(max(f(L),f(R)),max(f(x1),f(x2))));
            }
        }else{
            if(b==0)
                printf("%.2f\n",max(f(L),f(R)));
            else{
                z = (-c)/(2*b);
                printf("%.2f\n",max(f(L),max(f(R),f(z))));
            }
        }
    }
    return 0;
}

由于hdu的数据不够完美，所以还可以这样（当然这样有bug）

#include <math.h>
#include <stdio.h>

double a,b,c,d,L,R;
double max(double a,double b){
    return a>b?a:b;
}
double f(double x){
    if( x>=L && x<=R )
        return fabs(a*x*x*x + b*x*x + c*x + d);
    return -1;
}
int main(){
    double disc,x1,x2,z;
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R)==6){
        disc = b*b-3*a*c,z = (-c)/(2*b);
        x1 = (-sqrt(disc)-b)/(3*a),x2 = (sqrt(disc)-b)/(3*a);
        printf("%.2f\n",max(max(f(L),max(f(R),f(z))),max(f(x1),f(x2))));
    }
    return 0;
}