动态规划+递归（poj1664 放苹果）

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

令f(m,n)表示m个苹果放到n个盘子里有多少种放法:

(1):当盘子数为1的时候，只有一种放法就是把所有苹果放到一个盘子里。

(2):当苹果数为1的时候，也只有一种放法，注意题目中说明，盘子之间并无顺序,所以不管这个苹果放在哪个盘子里，结果都算一个。

(3):当m<n时，因为此时最多只能放到m个盘子中去（一个里放一个），实际上就相当于把m个苹果放到m个盘子里一样，也就是f(m,m);

(4):当m==n时 ，分两种情况讨论，一种 是 至少有一个盘子里不放苹果，这样子就相当于是f(m,m-1)，第二种是 一个盘子里放一个， 只是一种;

(5):当m>n时，也分两种情况讨论，一种是至少有一个盘子里不放苹果，这样子就相当于f(m,n-1) ，第二种是（所有盘子都放）先取出n个苹果一个盘子里放一个，再将剩下的m-n个苹果放到n个盘子里去，即f(m-n,n);

综上所述:

得到递归表达式：

f(m,n)=1 当 m=1或n=1；

f(m,n)=f(m,m) 当m<n;

f(m,n)=1+f(m,m-1) 当m=n;

f(m,n)=f(m-n,n)+f(m,n-1);

解题分析：
 9         设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，
10         当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　
11         当n<=m：不同的放法可以分成两类：
12         1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1);  
13         2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).
14         而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 
15     递归出口条件说明：
16         当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；
17         当没有苹果可放时，定义为１种放法；
18         递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1; 
19         第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．
20 */
21 #include<stdio.h>
22 
23 int fun(int m,int n)  //m个苹果放在n个盘子中共有几种方法
24 {
25     if(m==0||n==1)  //因为我们总是让m>=n来求解的，所以m-n>=0,所以让m=0时候结束，如果改为m=1，
26         return 1;    //则可能出现m-n=0的情况从而不能得到正确解    
27     if(n>m)
28         return fun(m,m);
29     else
30         return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
31 }
32 
33 int main()
34 {
35     int T,m,n;
36     scanf("%d",&T);
37     while(T--)
38     {
39         scanf("%d%d",&m,&n);
40         printf("%d\n",fun(m,n));
41     }
42 }