《视觉SLAM十四讲》学习笔记-第四讲部分习题的证明思路

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1 验证SO(3)、SE(3) 和Sim(3) 关于乘法成群
证明：
先看SO(3). 定义为：

$$SO(3) = \{\mathbf{R}\in \mathbb{R} ^{3\times3} | \mathbf{R}\mathbf{R}^\top = \mathbf{I}, \det(\mathbf{R})=1 \}$$

• 假设$\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3)$, 先证明 $\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$:
  

  $$\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2*(\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2)^\top = \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\mathbf{R}_2^\top*\mathbf{R}_1^\top = \mathbf{I}$$
  再证其行列式为1:
  $$\det(\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2) = \det(\mathbf{R}_1) \cdot \det(\mathbf{R}_2) = 1$$
  所以$\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3) \Rightarrow \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$.

• 根据矩阵乘法，显然：
  

  $$(\mathbf{R}_1 * \mathbf{R}_2) * \mathbf{R}_3 = \mathbf{R}_1 * (\mathbf{R}_2 * \mathbf{R}_3 )$$

• 存在$\mathbf{I}_0 \in \mathbb{R}^{3\times 3}$(单位矩阵), 使得:
  

  $$\mathbf{I}_0 * \mathbf{R} = \mathbf{R} * \mathbf{I}_0 = \mathbf{R}$$
  所以玄元为$\mathbf{I}_0$.

• 根据定义$\mathbf{R} \mathbf{R}^\top = \mathbf{I}$, 所以逆为
  

  $$\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^\top \in SO(3)$$

SE(3)的定义为：

$$SE(3) = \{\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \vec{t}\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \vec{t}\in \mathbb{R}^3 \}$$
- 假设$\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2\in SE(3)$, 证明 $\mathbf{T}_1*\mathbf{T}_2\in SE(3)$:
$$\begin{aligned} \mathbf{T}_1*\mathbf{T}_2 &= \begin{bmatrix} \mathbf{R}_1 & \vec{t}_1\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} \mathbf{R}_2 & \vec{t}_2\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2 & \mathbf{R}_1\vec{t}_2+\vec{t}_1\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
上述式子中，
$\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3)$, $\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$已获得证明；
$\mathbf{R}_1\vec{t}_2+\vec{t}_1 \in \mathbb{R}^3$.
满足SE(3)的定义。

• 同样根据矩阵乘法原理，$\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2, \mathbf{R}_3\in SO(3)$,
  $$(\mathbf{R}_1 * \mathbf{R}_2) * \mathbf{R}_3 = \mathbf{R}_1 * (\mathbf{R}_2 * \mathbf{R}_3)$$
• SE(3)的玄元为$\mathbf{I}_0 \in \mathbb{R}^{4\times 4}$
• SE(3)在乘法下的逆为：
  $$\mathbf{T}^{-1}= \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \vec{t} \\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} \mathbf{R}^\top & -\mathbf{R}^{-1}\vec{t}\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{R}^\top & -\mathbf{R}^\top\vec{t}\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}$$
  Sim(3)的证明与SE(3)很类似，限于篇幅就不展开了。

2 验证$(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times)$构成李代数
前面文章已证。

3 **验证$\mathfrak{so}(3)$和$\mathfrak{se}(3)$满足李代数要求的性质
$\mathfrak{so}(3)$已在前面文章中证明。下面只证明$\mathfrak{se}(3)$**.

4 证明式(4.20)与(4.21).
- 证明式(4.20) ：

$$\vec{a}^\wedge = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2}\\ a_{3} & 0 & -a_{1}\\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right)$$
所以，
$$\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge=\left(\begin{array}{ccc} -{a_{2}}^2-{a_{3}}^2 & a_{1}\,a_{2} & a_{1}\,a_{3}\\ a_{1}\,a_{2} & -{a_{1}}^2-{a_{3}}^2 & a_{2}\,a_{3}\\ a_{1}\,a_{3} & a_{2}\,a_{3} & -{a_{1}}^2-{a_{2}}^2 \end{array}\right)$$
另外，
$$\vec{a}\vec{a}^\top-\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc} a_{1}\,\mathrm{conj}\left(a_{1}\right)-1 & a_{1}\,\mathrm{conj}\left(a_{2}\right) & a_{1}\,\mathrm{conj}\left(a_{3}\right)\\ a_{2}\,\mathrm{conj}\left(a_{1}\right) & a_{2}\,\mathrm{conj}\left(a_{2}\right)-1 & a_{2}\,\mathrm{conj}\left(a_{3}\right)\\ a_{3}\,\mathrm{conj}\left(a_{1}\right) & a_{3}\,\mathrm{conj}\left(a_{2}\right) & a_{3}\,\mathrm{conj}\left(a_{3}\right)-1 \end{array}\right)$$
因为$\vec{a}$单位长为1，所以$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$，所以$\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge = \vec{a}\vec{a}^\top-\mathbf{I}$.

• 证明式(4.21)
  $$\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a_{3}\,{a_{1}}^2+a_{3}\,\left({a_{2}}^2+{a_{3}}^2\right) & -a_{2}\,{a_{1}}^2-a_{2}\,\left({a_{2}}^2+{a_{3}}^2\right)\\ -a_{3}\,{a_{2}}^2-a_{3}\,\left({a_{1}}^2+{a_{3}}^2\right) & 0 & a_{1}\,{a_{2}}^2+a_{1}\,\left({a_{1}}^2+{a_{3}}^2\right)\\ a_{2}\,{a_{3}}^2+a_{2}\,\left({a_{1}}^2+{a_{2}}^2\right) & -a_{1}\,{a_{3}}^2-a_{1}\,\left({a_{1}}^2+{a_{2}}^2\right) & 0 \end{array}\right)$$
  注意到$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$，且
  $$-\vec{a}^\wedge = \left(\begin{array}{ccc} 0 & a_{3} & -a_{2}\\ -a_{3} & 0 & a_{1}\\ a_{2} & -a_{1} & 0 \end{array}\right)$$
  所以: $\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge\vec{a}^\wedge= -\vec{a}^\wedge$

5 验证$\mathbf{R}\vec{p}^\wedge\mathbf{R}^\top = (\mathbf{R}\vec{p})^\wedge$.
证明比较难，暂没有时间钻研，留待以后再补上。
6 比较重要的几个公式：

(1)

$$\mathbf{R}\vec{p}^\wedge\mathbf{R}^\top = (\mathbf{R}\vec{p})^\wedge$$

(2) SO(3)的伴随：

$$\mathbf{R}\exp(\vec{p}^\wedge)\mathbf{R}^\top = \exp((\mathbf{R}\vec{p})^\wedge)$$
(3) SE(3)的伴随性质：
$$\mathbf{T}\exp(\xi)\mathbf{T}^{-1} = \exp((Ad(\mathbf{T})\xi)^\wedge )$$
其中：
$$Ad(\mathbf{T}) = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \vec{t}^\wedge\mathbf{R} \\ \mathbf{0} & \mathbf{R} \end{bmatrix}$$