《视觉SLAM十四讲》学习笔记-指数与对数映射

最新推荐文章于 2025-06-04 15:51:59 发布

teddyluo

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本文介绍了SO(3)中的指数映射及其逆运算——对数映射。提供了两个关键公式，包括罗德里格斯公式，并解释了如何通过指数映射将旋转向量与旋转矩阵相互转换。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

SO(3)的指数映射： $\mathfrak{so}(3)$ 实际上是由旋转向量组成的空间，通过指数映射可将任意一个向量对应到一个位于SO(3)的矩阵。
两个重要的公式：

$R exp (θ α \land) = cos θ I + (1 - cos θ) n ⃗ n ⃗ ⊤ + sin θ n ⃗ \land = cos θ I + (1 - cos θ) α ⃗ α ⃗ ⊤ + sin θ α ⃗ \land$ $\begin{aligned} \mathbf{R} &= \cos\theta\mathbf{I} + (1-\cos\theta)\vec{n}\vec{n}^\top + \sin\theta\vec{n}^ \wedge\\ \exp(\theta\alpha^\wedge) &= \cos\theta\mathbf{I} + (1-\cos\theta)\vec{\alpha}\vec{\alpha}^\top + \sin\theta\vec{\alpha}^\wedge \end{aligned}$
其中第一个为罗德里格斯公式。如果已定义了对数映射，则可以通过下式把SO(3)的元素对应到 $\mathfrak{so}(3)$ 的向量中：
$Φ = ln (R) \lor = (\sum n = 0 \infty ( - 1 ) n n + 1 (R - I) n + 1) \lor$ $\Phi=\ln (\mathbf{R}) ^\vee = \left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1} (\mathbf{R}-\mathbf{I})^{n+1} \right)^\vee$