P1814 数的序号题解

连续节点树结构编码算法

原创已于 2023-11-25 22:36:15 修改 · 114 阅读

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#算法 #c++

于 2023-11-20 17:06:00 首次发布

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文章介绍了如何通过预处理计算节点个数为i的不同树的数量，以及利用乘法原理递归地确定树的结构编码方法，包括左子树和右子树的编号规则。

P1814 数的序号题解

忘了怎么发现的这道题，反正题挺水的。

解法

想要输出一棵树的结构，我们必须先知道这棵树有几个节点。

我们知道节点个数相同的一类树它们的编号是连续的。我们考虑预处理出节点个数为 $i$ 的不同的树有几种，记作 $num_i$ 。

每棵树肯定有一颗树根。枚举左子树的大小 $\in [0,i-1]$ ，那么右子树的大小即为 $i - j - 1$ ，根据乘法原理，当左子树的大小为 $j$ 时节点个数为 $i$ 的不同的树有 $sum_j \times sum_{i - j - 1}$ ，所以 $sum_i = \sum \limits ^{n-1} _{j=0} sum_j \times sum_{i - j - 1}$ 。我选择了打表预处理，代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
int ans[20],n;
signed main()
{
	ans[0]=1,ans[1]=1;
	for(int i=2;i<=19;i++)
	{
		for(int j=0;j<i;j++) ans[i]+=ans[j]*ans[i-j-1];
		if(ans[i]>500000000)
		{
			n=i-1;
			break;
		}
	}
	std::cout<<n<<"\n";
	for(int i=0;i<=n;i++) std::cout<<ans[i]<<",";
	return 0;
}

现在考虑两颗节点数相同的树。

一颗树的编号共同取决于其左子树的编号和右子树的编号。在左子树编号不同时，左子树编号小的树编号小。在左子树编号不同时，右子树编号小的树编号小。

考虑如何确定左、右子树的编号。这样就可以完整打印一棵树的结构了。

定义一类 $n$ 颗节点，左子树大小为 $l s i z$ 的树的初始形态如下:

此时 $id_{ori} = \sum \limits ^{n-1} _{i=0} num_i$ 。如果想要求 $i d$ 为 $id_{now}$ 的树的形态，就优先改变右子树的形态 $id_{now} - id_{ori}$ 次，注意到，右子树改变了 $num_{n-lsiz-1}$ 次后就改变了一个周期。这时我们需要改变左子树的形态，在右子树改变了一个周期后左子树改变一次。

需要注意的是因为优先改变右子树，所以我们在周期中不能改变 $0$ 次右子树形态，所以需要一次特判，将 $0$ 改成 $num_{n-lsiz-1}$ 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace fast_IO
{
	/**
	 * 快读快写
	*/
};
using namespace fast_IO;
#define int long long // 害怕。
int n,num[]={1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700};
inline void print(int siz,int ind) // siz 表示子树大小，ind 表示子树大小为 siz 中需要打印的树的排序，第几大。
{
	if(ind==0) ind=num[siz];
	if(siz==1)
	{
		out<<'X';
		return;
	}
	int lsiz=0,cyc;
	while(ind>num[lsiz]*num[siz-lsiz-1]) ind-=num[lsiz]*num[siz-lsiz-1],lsiz++; // 确定左子树大小
	cyc=ceil(ind*1.0/num[siz-lsiz-1]);
	if(lsiz) out<<'(',print(lsiz,cyc),out<<')';
	out<<'X';
	if(siz-lsiz-1) out<<'(',print(siz-lsiz-1,ind-(cyc-1)*num[siz-lsiz-1]),out<<')';
}
signed main()
{
	int siz;
	while(1)
	{
		in>>n;
		if(n==0) break;
		siz=1;
		while(n>num[siz]) n-=num[siz],siz++;
		print(siz,n),out<<'\n';
	}
	fwrite(Ouf,1,p3-Ouf,stdout),fflush(stdout);
	return 0;
}