求进制数的问题

先上某公司笔试题：假设在n进制下，下面的等式成立，567*456 = 150216，n的值是（）。

A.9

B.10

C.12

D.18

解这类题，第一反应基本都是将选项带入等式直接计算，但带入计算运算量过大，过于费时，所以就有了下面相对省时的计算方法。

其实，本质就是解高次方程，先展开，然后构造相对简单的等式，再带入。

首先，我们可以从等式的各个值的个位数，能判断出其可能的最小进制，这道题的最大个位为7，所以它可能的进制数(n)最小为8。

然后将n带入等式，得到：(5*n^2 + 6*n^1 + 7) * ( 4*n^2 + 5*n^1 + 6) = 1*n^5 + 5*n^4 + 2*n^2 + 1*n^1 + 6   ——》20*n^4 + 49*n^3 + 88*n^2 + 71*n + 42 = 1*n^5 + 5*n^4 + 2*n^2 + 1*n^1 + 6。然后就想办法将左边复杂的等式简化成简单的等式，一般都是给两边等式都%n，所有n的倍数以及指数项被会被%掉，这样就会得到等式：42%n = 6%n，前面已经判断n最小为8，所以就可以得到：42%n = 6。也就是说，所有能被36整除并不能被42整除的数（36%n == 0  &&  42%n != 0）都可以。此时就会发现此等式为：左边俩数的个位数的乘积% n，等于右边数的个位。这也是解决此类题的一个通用判断式。一般情况，通过此判断式，就可以得到答案了。但对于此题，这个等式只能排除掉B选项，所以，我们还需再构造一个等式。

还是通过这个等式：20*n^4 + 49*n^3 + 88*n^2 + 71*n + 42 = 1*n^5 + 5*n^4 + 2*n^2 + 1*n^1 + 6，此时，先给两边同时除以n，然后再% n，就会得到另一个等式：（71 + 42/n）%n = （1 + 6/n)%n。这时，再将剩余的选项带入，因为42除以各个剩余选项的小数部分与6除以各个剩余选项的小数部分都为1/3，根据取余的特性，所以等式再简化：（71 + 42/n）%n = 1.就会得到答案，18。