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翻译最新推荐文章于 2026-03-04 22:02:13 发布 624 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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Sumdiv

Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

Hint

2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

Source

Romania OI 2002

应用定理主要有三个，

（1）整数的唯一分解定理：任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式，即A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn) ，其中pi均为素数。

（2）约数和公式：对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)，A的所有因子之和为S =(1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1）(1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)。

（3）同余模公式：(a+b)%m=(a%m+b%m)%m，(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。

本题的解题方法：

（1 ）对A进行素因子分解：A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时，记录2出现的次数+1，A/=2，当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模，以此类推，直到A==1为止。注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn。故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B)。

（2）A^B的所有约数之和为：sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)]。

（3）用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：若n为奇数,一共有偶数项，则1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))，上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第（4）点讲述计算方法。若n为偶数,一共有奇数项,则1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)，上式红色的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解。

（4）反复平方法计算幂次式p^n：这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。以p=2，n=8为例常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2。这样做的要做8次乘法。而反复平方法则不同，定义幂sq=1，再检查n是否大于0，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq{

n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4，n取半 n=4。

n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16，n取半 n=2。

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256，n取半 n=1，sq=sq*p。

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2，n取半 n=0，弹出循环。

}则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法。

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

long long power(long long a, long long b) {//模取幂
    long long result = 1;
    while (b > 0) {
        if (b % 2)
            result = result * a % 9901;
        b /= 2;
        a = a * a % 9901;
    }
    return result;
}

long long sum(long long a, long long b) {//递归二分求 (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod
        return 1;
    if (b % 2)
        return sum(a, b / 2)*(1 + power(a, b / 2 + 1)) % 9901;//奇数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
    return (sum(a, b / 2 - 1)*(1 + power(a, b / 2 + 1)) + power(a, b / 2)) % 9901;//偶数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
}

int main(void) {
    long long a, b;
    int p[10000];
    int n[10000];
    while (cin >> a >> b) {//读入数据
        int k = 2;
        int count = 0;
        memset(n, 0, sizeof (b));
        while (k * k <= a) {
            if (a % k == 0) {
                p[count] = k;
                while (a % k == 0) {
                    n[count]++;
                    a /= k;
                }
                count++;
            }
            k++;
        }
        if (a != 1) {
            p[count] = a;
            n[count++] = 1;
        }
        long long ans = 1;
        for (int i = 0; i < count; i++)
            ans = ans * (sum(p[i], n[i] * b) % 9901) % 9901;//求因子和
        cout << ans << endl;//输出结果
    }
    return 0;
}

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