poj1061

青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

扩展欧几里德。由于两只青蛙所跳的步数是相同的，我们设其为s，则sm+x是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，sn+y是B走的距离，他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*l；则:(ms+x)-(ns+y)=kl,变形得：(n-m)s+lk=x-y。对于方程 a*x+b*y=n；有整数解得充分必要条件是（n %gcd（a，b）==0）。我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0，y0。也就是a*x0+b*y0=gcd(a，b)；然后两边同时除以gcd（a，b），再乘以n，这样就得到了方程 a*x0*n/gcd（a，b）+b*y0*n/gcd（a，b）=n；我们也就找到了方程的一个解。即x=x0*n/gcd(a,b) ;y=y0*n/gcd（a，b）。若gcd（a，b）=1，且x0，y0为a*x+b*y=n的一组解，则该方程的任一解可表示为：x=x0+b*t，y=y0-a*t；且对任一整数t，皆成立。但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，所以我们就可以将一个特解x，t=c/gcd（a，b），x=(x%t+t）%t；就可以了。x就是所求的最小整数解。

代码如下：

#include<stdio.h>
long long X;
long long Y;
long long extgcd(long long a, long long b) {
    long long d, t;
    if (b == 0) {
        X = 1;
        Y = 0;
        return a;
    }
    d = extgcd(b, a % b);
    t = X - a / b * Y;
    X = Y;
    Y = t;
    return d;
}

int main() {
    long long x, y, m, n, l, d, r;
    while (scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &l) == 5) {
        d = extgcd(n - m, l);
        r = l / d;
        if ((x - y) % d)
            printf("Impossible\n");
        else
            printf("%lld\n", ((x - y) / d * X % r + r) % r);
    }
    return 0;
}