线性代数(Gilbert strang)笔记--第一章

最新推荐文章于 2024-09-26 16:54:48 发布

luixiao1220

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数笔记

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本文探讨了四维空间中立方体的几何特性，包括角、边和三维面的数量计算，并深入讨论了向量、矩阵和平均值等数学概念的应用。通过具体的数学模型和计算步骤，揭示了几何形状在高维空间中的复杂性和规律性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

UTF8gbsn

vector

对于向量 $v$ 我们通常都是默认它为列向量。
数学上解决问题的步骤
- 建模(公式推导)
- 计算

Q:四维空间中的立方体，有多少个角？多少条边？多少个三维面？

$0000→11110000\to1111$ ，每一个二进制数对应一个角，故而有16个角。
每个角点对应四条边，每条边对应2个角点。故而 $16 * 4 / 2 = 32$ 条边。
每个点出发4条边，每个三维面共享8个顶点。 $16 * 4 / 8 = 8$ 个三维面

length

$v⋅w⩽∣∣v∣∣⋅∣∣w∣∣v\cdot w \leqslant ||v||\cdot ||w||$ $∣∣v+w∣∣⩽∣∣v∣∣+∣∣w∣∣||v+w||\leqslant ||v||+||w||$

几何平均值 $∏i=1nxin\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$
算术平均数 $1n∑i=1nxi\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

几何平均值小于算术平均值。

$∏i=1nxin⩽1n∑i=1nxi\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

matrix

对于 $2 x 2$ 的矩阵

$E=(10l1)→E−1=(10−l1)E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ l & 1 \end{array} \right)\rightarrow E^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -l & 1 \end{array} \right)$

只对 $2 x 2$ 成立

循环差分矩阵

$(10−1−1100−11)3×3,(100−1−11000−11000−11)4×4\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)_{3\times 3},\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right)_{4\times 4}$
中心差分矩阵

$(010−1010−10)3x3,(0100−10100−10100−10)4x4\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right)_{3x3},\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)_{4x4}$