离散傅里叶变换(Example)

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注意，不建议读者直接阅读离散傅里叶变换，而是应该先阅读并理解傅里叶级数、和（连
续）傅里叶变换。这样才能够理解离散的傅里叶变换。

Introduction

在工程上，我们通常需要对离散的信号进行处理。所以我们必须要应用一种离散的傅里叶
变换。傅里叶级数的表示形式。如果们又信号$f(t)$
$${\alpha }_k=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{k\pi x}{l}}dx,(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$ 令$l=\pi$,我们有，注意一点$i$是虚数单位。不是下标
$${\alpha }_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt,(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
我们看${\alpha }_k$对应频率成分是$\frac{k}{2\pi }$,那么我们可以看到。那么我们可以
看到，我们恒可以把离散的数据y={ yi},y=(1,2,...,n)y=\{y_i\},y=(1,2,...,n)y={ yi​},y=(1,2,...,n)，看做一个周期$2\pi$上的
采样点。因为$y$是一定离散的数据。

那么我们如何来计算${\alpha }_k$？因为f(t)={ yi}f(t)=\{y_i\}f(t)={ yi​},是离散信号。所以我们必须变换
${\alpha }_k$为如下的等式,注意有一点儿，也就是$i$是虚数单位，不是标号。

$${\alpha }_k=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}f(\frac{2\pi j}{n})e^{\frac{-2\pi ijk}{n}}$$
也就是说

$${\hat{y}}_k/n\approx {\alpha }_k\approx \frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}{y}_j{\overline{w}}^{jk}$$

$$y_j=f($$