视觉SLAM笔记(四)-对极几何

最新推荐文章于 2024-06-13 16:50:57 发布

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#SLAM

对极几何和PnP都是在已知若干对匹配点的情况下计算相机的运动，其中对极几何是计算2D-2D匹配点间的运动，而PnP是求解3D-2D匹配点对运动的方法

对极几何

对极约束

在这里插入图片描述
如图所示为对极几何约束，其中 $I_1,I_2$ 为两帧图像， $p_1,p_2$ 为两帧图像中所匹配的像素点， $O_1,O_2$ 为相机的光心，连接 $O_1O_2$ 交 $I_1,I_2$ 于 $e_1,e_2$ 点， $e_1,e_2$ 称为极点，当 $p_1,p_2$ 代表同一空间点在两幅图像中的投影时，理论上连接 $O_1p_1$ 和 $O_2p_2$ ，两条直线必交于空间中的一点 $P$ ， $O_1O_2P$ 所确定的平面成为极平面， $O_1O_2$ 称为基线，极平面与像平面的交线 $l_1,l_2$ 称为极线。
下面解释对极约束:
设 $P = [X, Y, Z]$ ，以第一帧坐标系为起点，第二帧相对第一帧的旋转矩阵和平移向量分别为 $R, t$ ，根据相机模型，易知
$Zp_1 = KP,Zp_2=K(RP+t)$
当 $p_1,p_2$ 为使用齐次坐标时，忽略上式中的 $Z$ ：
$p_1 = KP,p_2=K(RP+t)$
设 $x_1,x_2$ 分别为 $P$ 在两个归一化平面上的投影(非像素坐标，与像素坐标相差一个相机内参矩阵)
$p_1 = Kx_1, p_2 = Kx_2$
所以可得
$x_2 = Rx_1+t$
两侧左乘 $t^\hat{t}$ ，得
$t^x2=t^Rx1 \hat{t}x_2=\hat{t}Rx_1$
两侧左乘 $x_2^T$ ，得
$x2Tt^x2=x2Tt^Rx1 x_2^T\hat{t}x_2=x_2^T\hat{t}Rx_1$
$t^x2\hat{t}x_2$ 与 $x_2$ 和 $t$ 均垂直，故 $x2Tt^x2=0x_2^T\hat{t}x_2=0$ ，得到如下约束
$x2Tt^Rx1=0 x_2^T\hat{t}Rx_1=0$
这个约束即为对极几何约束，将 $p_1,p_2$ 带入可得
$p2TK−Tt^RK−1p1=0 p_2^T K^{-T} \hat{t} R K^{-1} p_1=0$
令 $E=t^RE=\hat{t}R$ ，称为本质矩阵(Essential Matrix)，