1631. 最小体力消耗路径

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class Solution {
public:
    int minimumEffortPath(vector<vector<int>>& heights) {
        int m = heights.size();
        int n = heights[0].size();
        int x_add[] = {0, 0, 1, -1};
        int y_add[] = {1, -1, 0, 0};
        if (m == 1 && n == 1)
            return 0;
        vector<vector<int>> dp;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            dp.push_back(vector<int>(n, 0x3fffffff));
        priority_queue<pair<int, pair<int, int>>> Q;
        dp[0][0] = 0;
        Q.push(make_pair(0, make_pair(0, 0)));
        while (!Q.empty()) 
        {
            const int num = -Q.top().first;
            const int x = Q.top().second.first;
            const int y = Q.top().second.second;
          //  cout << num << " " << x <<" " << y <<endl;
            Q.pop();
            for (int i = 0; i < 4; i++) 
            {
                const int x_tmp = x + x_add[i];
                const int y_tmp = y + y_add[i];
                if (x_tmp < 0 || x_tmp >= m || y_tmp < 0 || y_tmp >= n)
                    continue;
                const int num_tmp = max(num, abs(heights[x][y] - heights[x_tmp][y_tmp]));
                if (num_tmp < dp[x_tmp][y_tmp])
                {
                    // if (x_tmp == m - 1 && y_tmp == n - 1)
                    //     return num_tmp;
                    dp[x_tmp][y_tmp] = num_tmp;
                    Q.push(make_pair(-num_tmp, make_pair(x_tmp, y_tmp)));
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};
<think>好的,我现在需要帮助用户理解如何用动态规划解决最小体力消耗路径问题。根据用户提供的引用内容,之前的回答中提到了Dijkstra算法、并查集等方法,但用户现在特别询问动态规划的解法。我需要仔细分析这个问题,并确定动态规划是否适用,或者是否存在动态规划的解决方案。 首先,回顾问题:最小体力消耗路径通常是在一个二维网格中,找到从起点到终点的路径,使得路径上相邻格子的高度差的最大值最小。例如,LeetCode 1631题就是这样的问题。根据引用中的内容,常见解法包括Dijkstra算法、二分查找结合BFS或并查集,但动态规划似乎没有被直接提到。这可能意味着动态规划并不是这个问题的最优或常用解法,或者需要特定的处理方式。 接下来,我需要思考动态规划是否适用于这个问题。动态规划通常适用于具有最优子结构的问题,即问题的最优解包含子问题的最优解。对于路径问题,如果每一步的选择只依赖于前面的状态,并且状态转移方程明确,那么动态规划可能适用。然而,在最小体力消耗路径问题中,关键是要最小路径中的最大高度差,这涉及到路径中的最值问题,这可能使得传统的动态规划难以直接应用,因为最值可能会影响后续的选择,破坏子问题的独立性。 根据引用中的内容,其他解法如Dijkstra算法在这里被使用,因为它可以处理最短路径中的最大边权重问题。而动态规划可能需要不同的状态定义。例如,传统的动态规划如最小路径和问题(LeetCode 64题,引用3)中,每个状态保存的是到达该点的最小路径和,因此状态转移是累加的。但在这里,状态可能需要保存到达该点的当前最大高度差,这可能导致状态数量增加,或者需要不同的处理方式。 可能的动态规划思路是定义dp[i][j]为到达(i,j)时的最小体力消耗(即路径中的最大高度差)。为了更新这个状态,需要考虑从四个方向(上下左右)到达该点,并取这些方向中的最小值。然而,由于路径的方向不是单向的(比如只能向右或向下),这可能导致循环依赖,因为每个点的状态依赖于周围点的状态,而周围点的状态又可能依赖于当前点的状态,尤其是在网格中进行多方向移动时。 此外,动态规划通常需要按特定顺序处理状态,比如从左上到右下逐行逐列处理。但在这种情况下,如果允许四个方向的移动,处理顺序可能变得复杂,因为某些状态可能需要多次更新,类似于Bellman-Ford算法中的松弛操作。这可能导致动态规划的时间复杂度较高,不如其他方法高效。 用户提供的引用中,例如引用3提到的动态规划用于最小路径和问题,但那是一个单向移动的问题(只能向右或向下),因此状态转移方程简单。而当前问题允许四个方向的移动,这增加了复杂性。因此,可能需要调整动态规划的策略,比如使用类似于Dijkstra的优先级队列来处理状态的更新顺序,或者结合其他方法。 另外,考虑到用户的问题可能对动态规划解法存在误解,或者希望了解动态规划是否可行,我需要解释动态规划在此问题中的局限性,并推荐更合适的解法,如Dijkstra或二分查找结合BFS,同时也可以探讨是否有动态规划的变种方法。 总结思考步骤: 1. 确认最小体力消耗路径问题的定义和要求。 2. 分析动态规划在此问题中的适用性,考虑状态定义和转移方程。 3. 识别可能的挑战,如多方向移动导致的状态循环依赖。 4. 参考类似问题(如最小路径和)的动态规划解法,比较差异。 5. 探讨是否有动态规划的变种方法,或者是否必须结合其他技术(如二分查找)。 6. 确定动态规划是否为该问题的合适解法,或是否需要使用其他方法。 7. 根据分析结果,向用户解释动态规划的可能思路及局限性,并推荐更优解法。</think>### 一、最小体力消耗路径问题的核心目标 在 $m \times n$ 的网格中,找到从起点 $(0,0)$ 到终点 $(m-1,n-1)$ 的路径,使得路径中相邻格子的高度差的最大值最小[^1][^4]。 例如,输入网格为: $$heights = [[1,2,1,1,1],[1,2,1,2,1],[1,2,1,2,1],[1,2,1,2,1],[1,1,1,2,1]]$$ 输出为 $0$(存在一条路径,所有相邻格子高度差均为 $0$)[^2]。 --- ### 二、动态规划解法的局限性分析 #### 1. **传统动态规划的适用场景** 动态规划通常适用于 **单向移动** 问题(如只能向右或向下移动),例如最小路径和问题(LeetCode 64题)[^3]。其状态转移方程可定义为: $$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], \ dp[i][j-1]) + \text{grid}[i][j]$$ #### 2. **本题的特殊性** - **允许四向移动**(上下左右),导致状态之间存在循环依赖。 - **目标是最小路径中的最大高度差**,而非累加值,这使得传统动态规划难以直接应用[^4][^5]。 #### 3. **动态规划的潜在思路(理论探讨)** 若尝试动态规划,需定义 $dp[i][j]$ 为 **到达 $(i,j)$ 时的最小体力消耗**(即路径中的最大高度差)。 状态转移方程可能为: $$dp[i][j] = \min_{\text{方向}} \left( \max\left(dp[x][y], \ |heights[i][j] - heights[x][y]|\right) \right)$$ 其中 $(x,y)$ 是 $(i,j)$ 的相邻格子。 **问题**:由于四向移动的存在,$dp[i][j]$ 的计算可能依赖未处理的状态,导致无法按固定顺序更新。 --- ### 三、更优解法推荐 #### 1. **Dijkstra算法(优先队列优化)** **核心思想**:将网格视为图,节点为格子,边权为相邻格子的高度差。寻找从起点到终点的路径,使得路径中的最大边权最小[^5]。 **时间复杂度**:$O(mn \log(mn))$,空间复杂度:$O(mn)$[^4]。 #### 2. **二分查找 + BFS/并查集** **核心思想**: 1. 二分搜索可能的体力值 $k$。 2. 验证是否存在一条路径,所有相邻格子高度差 $\leq k$[^5]。 **时间复杂度**:$O(mn \log C)$($C$ 为高度最大值),空间复杂度:$O(mn)$[^4]。 --- ### 四、Dijkstra算法实现示例(Python) ```python import heapq def minimumEffortPath(heights): m, n = len(heights), len(heights[0]) directions = [(-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1)] min_heap = [(0, 0, 0)] # (当前路径的最大高度差, x, y) visited = [[False] * n for _ in range(m)] while min_heap: effort, x, y = heapq.heappop(min_heap) if x == m-1 and y == n-1: return effort if visited[x][y]: continue visited[x][y] = True for dx, dy in directions: nx, ny = x + dx, y + dy if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and not visited[nx][ny]: new_effort = max(effort, abs(heights[x][y] - heights[nx][ny])) heapq.heappush(min_heap, (new_effort, nx, ny)) return 0 ``` --- ### 五、关键区别:动态规划 vs Dijkstra | **方法** | **适用场景** | **时间复杂度** | **空间复杂度** | |----------------|--------------------------|------------------|--------------| | 动态规划 | 单向移动(如最小路径和) | $O(mn)$ | $O(mn)$ | | Dijkstra算法 | 多向移动、最小化最大值 | $O(mn \log mn)$ | $O(mn)$ | | 二分查找+BFS | 验证性搜索、离散值优化 | $O(mn \log C)$ | $O(mn)$ | --- ### 六、相关问题 1. 为什么Dijkstra算法适用于最小体力消耗路径问题? 2. 如何通过并查集解决此类路径问题? 3. 二分查找法中的上下界如何确定?
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