浅谈快速幂算法

前言： 这份讲解只针对于C++新手，各位大佬请绕道，如有讲解错误的地方可留言给我，我会在第一时间回复并加以改正。

引入：快速幂的定义：顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

铺垫： 因为在代码实现中要用到位运算，没有学过位运算的读者我在这里简单讲解一下：
基本算术位运算：

与 ：$and$,&，如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为1；否则为0。例：11&3 =1011 & 11（二进制数）=11（二进制数） = 3

或 ：$or$,|，如果两个相应的二进制位只要有一个是1，结果就是1；否则为0。
例：11|2=1011 | 10（二进制数）=1011（二进制数） =11

非 ：$not$,~，这个在加法中用到
x-y = x + ~y + 1
所以~y = - y -1
比如 ~11 = -11 -1 = -12

异或 ：$xor$,^,两个相同的数会变成0，反之是1
例：11 ^ 3=1011 ^ 11 （二进制数）= 1000 （二进制数）=8

左移 ：在二进制表示下把数字同时向左移动，地位以0填充，高位越界后舍弃。

$$1<<n=2^n , n<<1=2n$$

算术右移 ：在二进制补码表示下把数字同时向右移动，高位以符号位填充，低位越界后舍弃。

$$n>>1= \lfloor n/2.0 \rfloor$$
算术右移等于除以2向下除整， $(-3)>>1=-2,3>>1=1$ 。
值得一提的是，“整数/2”在C++中实现为“除以2向零取整”， $(-3)/2=-1,3/2=1$。请读者自己尝试使用C++编译器编译运行类似的语句，检查运算结果。

原理：比如我们要求 $a$ 的 $b$ 次方对 $p$ 取模的值，其中1<=$a,b,p$<=$10^9$。
相关题目：Poj1995 Raising Modulo Numbers（快速幂）

根据数学常识，每一个正整数可以唯一表示为若干指数不重复的2的次幂的和。也就是说，如果 $b$ 在二进制表示下有$k$ 位，其中第$i(0<=i<k)$位的数字是 $c_i$ ，

那么： $b=c_k 2^{k-1}+c_{k-1} 2^{k-2}+...+c_0 2^0$

于是： $a^b=a^{c_{k-1}*2^{k-1}}*a^{c_{k-2}*2^{k-2}}*...*a^{c_0*2^0}$

又因为：$a^{2^i}=(a^{2^{i-1}})^2$

所以我们很容易通过 $k$ 次递推求出每个乘积项，当 $c_i=1$ 时，把该乘积项累积到答案中。b&1运算可以取出 $b$ 在二进制表示下的最低位，而 $b>>1$ 运算可以舍去最低位，在递推的过程中将二者结合，就可以遍历 $b$ 在二进制表示下的所有数位 $c_i$ 。整个算法的时间复杂度为$O(log_2b)$ 。

代码实现：

int power(int a,int b,int p)
{
    int ans=1%p;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
        a=(long long)a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

在上面的代码片段中，我们通过“右移（>>）”“与（&）”运算的结合，遍历了 $b$ 的二进制表示下的每一位。在循环到第 $i$ 次时（从0开始计数），变量 $a$ 中存储的是 $a^{2^i}$ ，若 $b$ 该位为1，则把此时的变量 $b$ 累积到答案 $ans$ 中。

值得提醒的是，在C++语言中，两个数值执行算术运算时，以参与运算的最高数值类型作为基准，与保存结果的变量类型无关。换言之，虽然两个 $32$ 位整数的乘积可能超过int类型的表示范围，但是 $CPU$只会用1个32位寄存器保存结果，造成我们常说的越界现象。因此，我们必须把其中一个数强制转换成64位整数类型 long long 参与运算，从而得到正确的结果。最终对 $p$ 取模以后，执行赋值操作时，该结果会被隐式转换成 $int$ 存回 $ans$ 中。