Deque and Balls ZOJ - 3929 （组合数学+dp+期望）

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本文深入探讨了ZOJ-3929 DequeandBalls问题，通过动态规划方法解决球按等概率放入双端队列的期望值问题，详细解释了dp数组的构建过程与组合数的应用。

题目链接：

Deque and Balls

ZOJ - 3929

题目描述：

给你n个数，从第一个数到第n个数按顺序等概率的放入双端队列中，就是说从双端队列的左边放入还是从右边放入是等概率的。求 $x_{i} > x_{i + 1}$ 个数的期望值 * $2^n$ mod (1e9 + 7).

题意有点晦涩，举个例子：

n = 3 , 这三个数为：5 2 1

那么可能的情况有：
5 2 1 放入双端队列后是这个序列的概率为 1 / 4 ，满足 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的个数为 2 个（即：5 2 、 2 1）；
2 5 1   放入双端队列后是这个序列的概率为 1 / 4 ，满足 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的个数为 1 个（即：5 1）；
1 2 5   放入双端队列后是这个序列的概率为 1 / 4 ，满足 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的个数为 0 个；
1 5 2   放入双端队列后是这个序列的概率为 1 / 4 ，满足 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的个数为 1 个（即：5 2 ）；

所以最后的期望为： $E = 2 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{4}$

答案为： $ans = (2 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{4}) \times 2^3\ mod (10^9+7) =8$

题解：

首先考虑一个简单的问题，先考虑一个唯一的序列，按题目要求构造一个序列的概率是 $\frac{1}{2^{n-1}}$ （先不管一个序列中会有多少对 $x_{i} > x_{i + 1}$ ）当然该序列中有多少对 $x_{i} > x_{i + 1}$ 就用 $\frac{1}{2^{n-1}}$ 乘以该序列中 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的对数就是该序列“贡献“的期望值。把 $2^{n - 1}$ 种序列的贡献是加起来再乘以 $2^n$ 其实就是：让你求所有可能的序列中 $x_{i} > x_{i + 1}$ 的对数求和然后再成 2 就是答案（因为 $2^n$ 与 $\frac{1}{2^{n-1}}$ 化简了）。这样一来问题就会简化了许多。

其次定义一个dp[i]数组，该dp数组的含义为：当第 i 个元素插入队列后有总过有多少对 $x_{i} > x_{i + 1}$ 。

再次，就要考虑怎么求 dp[i] 了，显然dp[n]（当 i == n 时）就是咱们想要的答案(dp[n]的含义：当全部元素插入队列后有总共有多少对 $x_{i} > x_{i + 1}$ )，那么怎么递推求解dp[i]呢？首先考虑 dp[ i - 1 ] ，如果咱们知道了 dp[ i - 1 ]有多少对，那么当第 i 个元素加进来的时候，可能在当前序列的左边加进来，也可能在当前序列的右边加进来，所以首先做的应该是；dp[ i - 1 ] * 2 这个就是前 i - 1 个序列做的贡献，那么第 i 个元素做的贡献是多少呢？

最后，当第i个数字进来的时候，那么前i个数字只要是和第i个数字大小不一样就可以贡献 1 个 $x_{i} > x_{i + 1}$

比如说： 5 2 1
当 1 进来的时候，可以是： 5 2 1 这时候 2 贡献一次。 2 5 1 这时候 5 贡献一次。

再比如 5 2 1 6

当 6 进来后，可以是： 6 5 2 1 、 6 2 5 1、 6 1 2 5 、6 1 5 2 、一共多出来4次。

所以根据排列组合（你可以看做是规律，其实是组合数），怎么求呢？其实就是：假设第 i 个元素，与前 i - 1 个元素都不相同，所以前 i - 1 个元素可以有 $2^{i - 2}$ 种排列，对于每一种排列你都可以找到左边或者右边把第i个元素放进去使得 $x_{i} > x_{i + 1}$ 个数增加 1 。这是假设与前 i - 1 个元素都不相同的时候，那么如果相同怎么办呢？如果相同就减去就好啦~~ 每次都记录下，最后如果碰到相同的就减去。（如果还有不明白的请看代码，有详细注释，相信看下代码就都明白啦~！）

最终 dp[ i ] = dp[i] = (2 * dp[i - 1] + sum[i - 1] - re[t]) % mod;

sum记录的是第i个元素的新增的贡献
re记录的是相同的，需要减去的个数

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define up(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i++)
#define down(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i--)
#define maxn ((int)1e5 + 10)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[maxn], arr[maxn], re[maxn], sum[maxn], dp[maxn];
ll mod = 1e9 + 7;
void init() // 先打一个表，以后直接用了
{
    int  n = 100000 + 2;
    f[1] = 1; f[2] = 1;//这里比较特殊，当 n = 1 时 是1，因为就一个元素嘛。
    up(i, 3, n)
    {
        f[i] = f[i - 1] * 2 % mod; //就是求 组合数的，打一个表，按照 2 ^ (i - 2) 这个公式打的表
    }
    up(i, 1, n)
    {
        sum[i] += sum[i - 1] + f[i] % mod; //求一个前缀和，因为 需要累加的嘛~
    }
}
int main()
{
    int T;init();
    while(~scanf("%d", &T))
    {
        while(T--)
        {

            memset(re, 0, sizeof(re));
            memset(dp, 0, sizeof(dp));
            int n; scanf("%d", &n);
            up(i, 1, n)
            {
                int t; scanf("%d", &t);
                dp[i] = (2 * dp[i - 1] + sum[i - 1] - re[t]) % mod;
                re[t] = (re[t] + f[i]) % mod;  // 
            }
            printf("%lld\n", dp[n] * 2LL % mod);
        }
    }
}