Colossal Fibonacci Numbers! (数论)

最新推荐文章于 2020-12-27 00:06:16 发布

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本文详细解析了UVA-11582题目，介绍了如何通过快速幂取模和利用斐波那契数列的性质解决大数运算问题。通过对输入的非负整数进行特定的数据类型选择，以及对斐波那契数列周期性的观察，实现了高效计算斐波那契数列第ab项对n取模的余数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11582

题意：

输入两个非负整数a、b和正整数n(0<=a,b<2^64,1<=n<=1000)，你的任务是计算f(ab)除以n的余数，f(0) = 0, f(1) = 1,且对于所有非负整数i，f(i + 2) = f(i + 1) + f(i)。

题解：

1、首先应注意到取值范围：a, b < 2^64 ，所以应用无符号整型
unsigned long long 取值范围：unsigned long long [int] 64 0 ~ 2^64-1 %I64u 、 %I64o 、 %I64x
long long 取值范围：[signed] long long [int] 64 -2^63 ~ 2^63-1 %I64d
而且输入不可以用scanf("%lld %lld %d", &a, &b, &n); 还是用cin。

2、斐波那契数列对n取模是有规律的，对n取模，最多n项，不会超过n^2项就会出现重复。求出循环周期(len)。

3、利用快速幂取模(对len取模)，这样求出arr[ a^b % len ]，就是答案。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<cmath>
#define up(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i++)
#define down(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i--)
#define MAXN ((int)1e6 + 10)
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int arr[MAXN];
int pow_mod(ull a, ull n, int m) //快速幂取模
{
    ull base = a, ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1){
            ans = ans * base % m;
        }
        base = base * base % m;
        n >>= 1;
    }
    return (int)(ans % m);
}
int solve(ull a, ull b, int n)
{
    int len = 1;
    for(int i = 2; 1 ; i++)
    {
        arr[i] = (arr[i - 1] + arr[i - 2]) % n;
        if(arr[i - 1] == arr[0] && arr[i] == arr[1]) {
            len = i - 1; //周期
            break;
        }
    }
    int loc = pow_mod(a % len, b , len); //位置
    return arr[loc];
}
int main()
{
    int T; cin>>T;
    while(T--){
        ull a, b;
        int n;
        cin>>a>>b>>n;
        arr[0] = 0, arr[1] = 1 % n;
        cout<<solve(a, b, n)<<'\n';
    }
    return 0;
}