容斥原理

容斥原理：

设S为有穷集，P1,P2,…,Pm是m个性质。S中的任何元素x或者具有性质Pi，或者不具有性质Pi(i=1,2,…m),两种情况必居其一。令Ai表示S中具有性质Pk的元素构成的子集，则S中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素为

 

容斥原理推论：

在这里给大家举一个栗子就明白了。

问题：求从1到1000里面不可以被5和6和8整除的数的个数？
这个问题就是一个容斥的题。

就相当于有三个集合，分别为：
A = { x |  1 <= x <= 1000 且 可被5整除 }
B = { x |  1 <= x <= 1000 且 可被6整除 }
C = { x |  1 <= x <= 1000 且 可被8整除 }

其实就是求解AUBUC集合元素的个数（一个集合中不可以有重复的元素）。
那么根据容斥定理的推论就可以得出：（注　：|A| 意思代表A集合中元素的个数）

｜ＡＵＢＵＣ｜＝| A | + | B | + | C | - | A ∩ B | - |A ∩ C| - | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |1
|A|＝1000/5＝200
|B|＝1000/6＝166
|C|＝1000/8＝125
|A∩B|＝1000/lcm(5,6)＝33
|A∩C|＝1000/lcm(5,8)＝25
|B∩C|＝1000/lcm(6,8)＝41
|A∩B∩C|＝ 1000/lcm(5,6,8)   =8

（注：lcm意思是求最小公倍数）

所以答案是：1000 - （200 + 166 + 125 - 33 - 25 - 41 + 8）= 600
用图来看就是：

代码就比较简单了，这里就不赘述了，如有不对，欢迎批评指正。