【集合DP】复杂状态的动态规划

最新推荐文章于 2020-04-16 17:51:56 发布

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#dp #集合 #复杂状态

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本文探讨了经典的最优配对问题，通过动态规划的方法解决该问题。利用二进制表示点集状态，并给出状态转移方程，实现对点集最优配对方案的求解。

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首先我们来看看这样一个问题，即著名的最优配对问题

对于空间里有n个点，给定n个点间的距离，将n个点两两配成n/2对，使得所有点对距离之和最小（n<=20）。

对于这样一个问题，我们可以知道这是一个多决策的问题，首先为第1个点作决策进行配对，然后为第2个点进行配对，因此每一个阶段的状态必然包含当前有哪些点参与配对，哪些点未参与配对，而如果将不确定个数和序号的点保存下来呢？答案是集合，我们可以利用二进制的方法，利用二进制法对集合进行表示，第i位为1则表示第i个点参与配对。

于是不难想到用dp[S]表示集合S里的点两两最优配对后的最小距离和，那么dp[S]为S里序号最小的元素与集合S里其他任意元素j匹配后的最小值

即状态转移方程为dp[S]=min(dp[S],dp[S^(1<<i)^(1<<j)]+dist[i][j]);

        for(int S=0;S<(1<<n);S++)
        {
            int i,j;
            dp[S]=0x3f3f3f3f;
            for(i=0;i<n;i++)
                if((1<<i) & S)
                    break;
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if((1<<j) & S)
                    dp[S]=min(dp[S],dp[S^(1<<i)^(1<<j)]+dist[i][j]);
            }

        }