51Nod-1011-最大公约数GCD

            1011 最大公约数GCD
输入2个正整数A，B，求A与B的最大公约数。

Input
2个数A,B，中间用空格隔开。(1<= A,B <= 10^9)

Output
输出A与B的最大公约数。

Input示例
30 105
Output示例
15

一道基础题，测试的是数学功底。
这道题用辗转相除法解答，可以用递归函数简单明了地表达出辗转相除这一数学方法。代码如下：

辗转相除法代码

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a%b)

while True:
    try:
        A, B = list(map(int, input().split()))
        print(gcd(A,B))
    except EOFError:
        break

缺点：对与两个整型数较大时，做a%b取模运算的性能会比较低
算法的时间复杂度为O(long(min(a,b)))

更相减损法代码

def gcd(a, b):
    if a == b:
        return a
    if a < b:
        return gcd(b-a, a)
    else:
        return gcd(a-b, a)

while True:
    try:
        A, B = list(map(int, input().split()))
        print(gcd(A,B))
    except EOFError:
        break

缺点：更相减损法是不稳定的算法，当两个数相差悬殊时，递归次数会非常大。
算法的时间复杂度为O(max(a,b))

辗转相除法与更相减损法结合
其思路如下：
当a和b均为偶数时， gcd(a,b) = 2*gcd(a/2, b/2) = 2*gcd(a>>1, b>>1)
当a为偶数，b为奇数时，gcd(a,b) = gcd(a/2, b) = gcd(a>>1,b)
当a为奇数，b为偶数时，gcd(a,b) = gcd(a, b/2) = gcd(a, b>>1)
当a和b均为奇数时，利用更相减损法运算一次，gcd(a,b) = gcd(b-a, a),此时a-b必然为偶数，又可以继续进行位移运算。

代码如下：

def gcd(a, b):
    if a == b:
        return a
    if a > b:
        a, b = b, a

    if not a&1 and not b&1:
        return gcd(a>>1, b>>1)<<1
    elif not a&1 and b&1:
        return gcd(a>>1, b)
    elif a&1 and not b&1:
        return gcd(a, b>>1)
    else:
        return gcd(b-a, a)

while True:
    try:
        A,B = list(map(int, input().split()))
        print(gcd(A, B))
    except EOFError:
        break

不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，此算法的时间复杂度为O(log(max(a,b)))