28、聚类方法全解析：原理、应用与效果评估

聚类方法全解析：原理、应用与效果评估

聚类是一种强大的数据分析技术，在众多领域都有广泛应用。本文将深入探讨聚类的基本概念、常见方法、不同场景下的聚类效果，以及如何评估聚类结果的质量。

1. 聚类基础概念

聚类的核心目标是将输入数据划分为不同的组或簇。理想情况下，同一簇内的数据点彼此相似，而不同簇之间的数据点差异较大。聚类技术通常属于无监督机器学习方法，因为在聚类过程中，算法并不预先知道每个输入数据应属于哪个簇，而是由算法自行做出决策。

聚类任务本质上是一个优化问题。假设有 $N$ 个输入数据要被划分为 $k$ 个簇，那么一个最优的聚类结果应该使得所有输入数据到其所属簇质心的平均欧几里得距离最小。簇 $i$ 的质心 $c_i$ 是该簇内所有输入数据的质心，计算公式为：
[c_i = \frac{1}{N_i} \sum_{u=1}^{N_i} input(i)_u]
其中，$N_i$ 是簇 $i$ 中的输入数据数量，$input(i)_u$ 是簇 $i$ 中的第 $u$ 个输入数据。

所有输入数据到其所属簇质心的平均距离 $\bar{d} i$ 为：
[\bar{d}_i = \frac{1}{N_i} \sum {u=1}^{N_i} \left\lVert input(i) u - c_i \right\rVert]
而整体的平均距离 $d$ 为：
[d = \sum {i=1}^{k} \bar{d}_i]
最优的聚类结果就是要使得 $d$ 达到全局最小值。然而，在实际应用中，由于全局优化的计算成本过高，通常会使用启发式的局部优化方法，如 k - 均值聚