大数定律和中心极限定理

本文介绍了随机变量的矩、切比雪夫不等式、相关性和独立性,以及特征函数在概率分布研究中的作用。重点讨论了大数定律和中心极限定理,阐述了样本均值的收敛性和分布特性,为理解和应用统计学提供理论基础。

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随机变量的矩

XXX是一个随机变量,f(x)f(x)f(x)为概率密度函数,对于任何正整数nnn,定义
E(Xn)=∫p(x)xndxE(X^n)=\int p(x)x^ndxE(Xn)=p(x)xndx为随机变量的nnn阶矩。

  • nnn=1,E(X)E(X)E(X)为随机变量的期望,可以理解为平均值。
  • nnn=2,E(X2)−E(X)2=E((X−E(X))2)E(X^2)-E(X)^2=E((X-E(X))^2)E(X2)E(X)2=E((XE(X))2)为随机变量的方法。

切比雪夫不等式

设随机变量XXX,期望uuu,标准差σ\sigmaσ,对于任意实数k>0,
P(∣X−u∣≥kσ)≤1k2P(|X-u| \geq k\sigma)\leq {1\over k^2}PX

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