线性代数学习笔记2

第二集　　矩阵消元

高斯消元法通过对方程组中的某两个方程进行适当的数乘和加和，以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个数的目的。解线性方程组的基本思路是把方程组通过行初等变换用一个很简单的等价方程组（即相同解集）代替。

矩阵A 为可逆矩阵，消元结束后得到上三角阵U，其左侧下半部分的元素均为0，而主元1,2,5 分列在U 的对角线上。 主元之积即行列式的值。
需要说明的是， 主元不能为0，如果恰好消元至某行，0 出现在了主元的位置上，应当通过与下方一行进行“ 行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果0 出现在了主元位置上，并且下方没有对等位置为非0 数字的行，则 消元失效， 说明矩阵A 为不可逆矩阵，且线性方程组没有唯一解（可能无解，可能无穷多解）。

回代是应用增广矩阵，将b 插入矩阵A之后形成最后一列，在消元过程中带着b 一起操作（Matlab 是算完系数矩阵再处理b 的）。

此时我们将原方程 $Ax=b$ 转化为了新的方程 $Ux=c$，其中c=《[2;6;-10]》。从最后一行得到z=-2，依次回代可以得到y=1和x=2。
消元矩阵
矩阵运算的核心内容就是对“ 行”或者“ 列”进行独立操作。
矩阵右乘列向量

矩阵左乘行向量

左乘的这个矩阵为“初等矩阵”（Elementary Matrix），因此记做E。

按行运算


3*3 矩阵的消元本来应该分三步完成，最终得到 $E_{32}(E_{31}(E_{21}A))$。本例中 $E_{31}=I$，
所以结果变为 $E_{32}(E_{21}A）=U$，因为矩阵运算符合结合律，也可写作 $(E_{32}E_{21})A=U$。
可以记作 $EA=U$。
方程 $Ax=b$的解也满足方程 $Ux=EAx=Eb=c$，因此我们将问题转化为 $Ux=c$。回代可以表示为 $E[A|b]=[U|c]$。

第三集　　矩阵的乘法和逆矩阵
矩阵乘法
矩阵A 与B 相乘得到矩阵C。其中A 为m*n（m行n 列）矩阵，而B 为n*p 矩阵，则C 为m*p 矩阵，记