2016年9月11日美团笔试编程题之收红包问题解析

声明：本文章的解题技巧属于原创。

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题目大意：在一个桌子上放了若干个数值不等的红包，围成一个圈，现在让你选取若干个红包，要求相邻的两个红包不能同时选取，编程求出选取红包所得钱数的最大值；

输入：

2

1，2，3

1，2，3，4

输出：

3

6

解题思路：

    1.将环状结构转化为线性结构；

    2.运用动态规划求解最优解决方案；

解析：

从某个红包按顺时针依次选取，则每个位置都有两种状态，选取和不选取，最终要使利益最大化，可以用动态规划来解决。在动态规划中，每一步的选择都是前面所有步骤的总结，每一步选择最优从而使最终方案最优。DP算法的这种本质决定了问题必须是线性结构，但本问题是环状结构，第一个红包（指逻辑上的第一个，环上的任何一个红包都可以作为第一个）的状态不仅影响第二个红包的状态，还影响最后一个红包的状态，所以首先要将环状结构转化为线性结构。转化方法：将所有选取方案分为两类，第一类是选取第一个红包的所有方案，第二类是不选取第一个红包的所有方案。对于第一类，选取第一个红包，从而第二个红包和最后一个红包都不能选取，剩余红包的状态不确定；对于第二类，不选取第一个红包，那么剩下的红包状态都不确定。将环状结构转化为线性结构可以使问题简化，逻辑更加清晰，顺序选取的过程中，每个红包的状态只取决与它前面一个红包，从而可以使用DP来求解。

第二步是分别对两类中不确定的红包运用动态规划。若某个位置的红包选取，那么其后一位置的红包不能选取；若某一位置的红包未选取，其后一位置的红包可以选取，也可以不选取。DP转移方程：

    dp[i+1][0]=max(dp[i][0],dp[i][1])

    dp[i+1][1]=dp[i][0]

其中i表示红包的索引，第二维中的0表示不取红包i，1表示选取红包i，也就是说第二维用来表示红包的两种状态；而dp[i][0]表示从红包0到红包i中选取红包，并且不选红包i，获得的红包最大值；dp[i][1]表示从红包0到红包i中选取红包，并且选取红包i，所获得的红包最大值。

算法时间复杂度为O(n)，源代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

vector<int> Money;

int Choose(int begin, int end)
{
	if (end < begin) return 0;
	int dp[2], temp;
	dp[0] = dp[1] = 0;
	for (int i = begin; i <= end; i++)
	{
		temp = dp[0];
		dp[0] = max(dp[0], dp[1]);
		dp[1] = temp + Money[i];
	}
	return max(dp[0], dp[1]);
}

int main()
{
	int T, n, val, ans;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		cin >> val;
		Money.push_back(val);
		while (cin.get() == ','){ cin >> val; Money.push_back(val); }
		/*for (int item : Money) cout << item << " ";
		cout << endl;*/
		n = Money.size();
		//第一类，选取红包0，然后对红包2到红包n-2进行DP
		ans = Money[0] + Choose(2, n - 2);
		//第二类，不选取红包0，然后对红包1到红包n-1进行DP
		ans = max(ans, Choose(1, n - 1));
		cout << ans << endl;
		Money.clear();
	}
	
	return 0;
}

在笔试时，我在环上进行DP，DP过程中保存第一个红包的状态，最后一直出问题。结束后分析才发现，DP不能用于环状结构，这是由DP算法的本质决定的。