【进阶指南】糖果传递【贪心】

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已于 2022-04-05 16:08:08 修改 · 861 阅读

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#c++ #算法

于 2022-04-05 16:07:30 首次发布

这篇博客讨论了如何在确保所有小朋友糖果均等的情况下，计算传递糖果的最小代价。通过建立数学模型和分析，作者提出了寻找中位数的方法来解决这个问题，并提供了问题的最优解。文章还解释了为什么不可能所有糖果传递方向一致，并通过递归过程证明了算法的正确性。

Date：2022.04.05
题意描述：
有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 1。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式
第一行输入一个正整数 n，表示小朋友的个数。
接下来 n 行，每行一个整数 a[i]，表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式
输出一个整数，表示最小代价。
数据范围
1≤n≤1000000,
0≤a[i]≤2×109,
数据保证一定有解。
输入样例：
4
1
2
5
4
输出样例：
4

思路：设每个人有糖果 $a_1、a_2...a_n$ ，那么目标是让每个都变成 $\frac{1}{n}*(a1+a2+...an)$ 。
我们假设 $i$ 向 $i + 1$ 传递的糖果是 $x_i$ 个，其中：
① $i$ 给 $i + 1$ 时， $x_i>0$ 。
② $i + 1$ 给 $i$ 时， $x_i<0$ 。
因此我们的目标是让 $∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + . . . + ∣ x n ∣$ 最小。
我们根据每个都要变成 $\frac{1}{n}*(a1+a2+...an)$ 的目标来写方程组：
$\left\{ \begin{array}{lr} a_1-x_1+x_n=b; \\ a_2-x_2+x_1=b;\\ ...\\ a_n-x_n+x_{n-1}=b; \end{array} \right.$