洛谷P1373 小a和uim之大逃离

最新推荐文章于 2025-02-01 19:04:42 发布

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在一场生死考验中，小a和uim需要通过策略性的选择路径和收集魔液来确保双方存活。本文介绍了一道关于动态规划的问题，通过巧妙的设计达到平衡双方魔液收集量的目的。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目背景

　　小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

　　瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！
　　现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。
输入输出格式
输入格式：
第一行，三个空格隔开的整数n，m，k
接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。
输出格式：
一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。
输入输出样例
输入样例#1：
2 2 3
1 1
1 1
输出样例#1：
4
说明

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2

对于50%的数据，n,m<=100,k<=5

对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

解题报告：

　　很水的DP啊！一眼秒。 $F[i][j][k]$ 表示DP到 $(i,j)$ 时，小明和小伙伴的差值为k的方案数，随便递推递推就是了。
　　不过恶心的地方在这题卡内存。你必须知道一个性质：就是差值 $-k$ 和是等价的。因为你随时可以把两个人混着看。有这个性质在才能少开一半数组。否则就必须做两遍。做两遍的话就会有2个点T ……晕。
代码：

90分代码。T了两个点。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define Mod 1000000007
using namespace std;
int dp[801][801][37],n,m,K,value[801][801],ans;
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&value[i][j]);
    //起点为偶数 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if((i+j)%2==0)
                dp[i][j][value[i][j]+16]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=-K;k<=K;k++){
                if((i+j)%2==0)//下一步是小伙伴 
                {   
                    if(j<m) dp[i][j+1][(k-value[i][j+1])%(K+1)+16]=(dp[i][j+1][(k-value[i][j+1])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                    if(i<n) dp[i+1][j][(k-value[i+1][j])%(K+1)+16]=(dp[i+1][j][(k-value[i+1][j])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                }
                else  //下一步是小明 
                {
                    if(j<m) dp[i][j+1][(k+value[i][j+1])%(K+1)+16]=(dp[i][j+1][(k+value[i][j+1])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                    if(i<n) dp[i+1][j][(k+value[i+1][j])%(K+1)+16]=(dp[i+1][j][(k+value[i+1][j])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                }

            }
            if((i+j)%2)ans=(ans+dp[i][j][16])%Mod;
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if((i+j)%2)
                dp[i][j][value[i][j]+16]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=-K;k<=K;k++){
                if((i+j)%2)//下一步是小伙伴 
                {   
                    if(j<m) dp[i][j+1][(k-value[i][j+1])%(K+1)+16]=(dp[i][j+1][(k-value[i][j+1])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                    if(i<n) dp[i+1][j][(k-value[i+1][j])%(K+1)+16]=(dp[i+1][j][(k-value[i+1][j])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                }
                else  //下一步是小明 
                {
                    if(j<m) dp[i][j+1][(k+value[i][j+1])%(K+1)+16]=(dp[i][j+1][(k+value[i][j+1])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                    if(i<n) dp[i+1][j][(k+value[i+1][j])%(K+1)+16]=(dp[i+1][j][(k+value[i+1][j])%(K+1)+16]+dp[i][j][k+16])%Mod;
                }
            }
            if((i+j)%2==0)ans=(ans+dp[i][j][16])%Mod;
        }
    printf("%d\n",ans);            
}

100分代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int max_n = 801;
const int max_k = 16;
const int inf = 1e9+7;

int f[max_n][max_n][max_k][2];
int a[max_n][max_n];
int n,m,k,ans;

inline void dp1()
{
    for(int i=1; i<=n; ++i)
      for(int j=1; j<=m; ++j)
        for(int g=0; g<=k-1; ++g)
        {
            f[i][j][g][0]=(f[i][j][g][0]+f[i-1][j][(g-a[i][j]+k)%k][1])%inf;
            f[i][j][g][0]=(f[i][j][g][0]+f[i][j-1][(g-a[i][j]+k)%k][1])%inf;
            f[i][j][g][1]=(f[i][j][g][1]+f[i-1][j][(g+a[i][j])%k][0])%inf;
            f[i][j][g][1]=(f[i][j][g][1]+f[i][j-1][(g+a[i][j])%k][0])%inf;
        }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
      for(int j=1; j<=m; ++j)
      {
          scanf("%d",&a[i][j]);
          f[i][j][a[i][j]][0]=1;
      }
    k+=1;
    dp1();
    for(int i=1; i<=n; ++i)
      for(int j=1; j<=m; ++j)
        ans=(ans+f[i][j][0][1])%inf;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}