poj3041_匈牙利算法_二分图最小覆盖点(最大匹配数)

本文介绍了一个利用匈牙利算法解决特定问题的方法:在一个n*n网格中有k个炸弹,通过删除最少次数的行或列来消除所有炸弹。文章通过构建二分图并运用匈牙利算法寻找最小覆盖集,给出了完整的C语言实现代码。

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题目链接


这里是不是应该写下什么是匈牙利算法大笑(找到了一个非常容易理解的一个讲解趣味算法),这位大佬已经讲的很详细了(和这我道题雷同二分图最大匹配数)~~~

题意:

在一个n*n的网格中,有k个炸弹吧,每次可以删除一行或者一列,要清除这所有炸弹最少要删除几次。

思路(copy:参考链接):

将每行、每列分别看作一个点,对于case的每一个行星坐标(x,y),将第x行和第y列连接起来,例如对于输入:

(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,2)4点构造图G:


这样,每个点就相当于图G的一条边,消灭所有点=消灭图G的所有边,又要求代价最少,即找到图G上的最少的点使得这些点覆盖了所有边。

v2_used[]是记录是否遍历过v2

v2_link[]是记录v2的y匹配的v1编号x;


#include<stdio.h>
#include<string.h>


int map[505][505]; 
int v2_link[10005];
int v2_used[10005];
int res,v1,v2;

bool dfs(int x)
{
	int y;
	for(y=1;y<=v2;y++)
	{
		if(map[x][y]==1&&!v2_used[y])
		{
			v2_used[y]=1;
			if(v2_link[y]==0||dfs(v2_link[y]))
			{
				v2_link[y]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	
	return false;
} 
void search()
{
	int x;
	for(x=1;x<=v1;x++)
	{
     	memset(v2_used,0,sizeof(v2_used)); 
		if(dfs(x))
	      res++;
	}
	   
}
int main()
{
   int x,y,i,n,k;
   scanf("%d%d",&n,&k);
   
   v1=v2=n;
   
   memset(map,0,sizeof(map));
   res=0;
  
   for(i=1;i<=k;i++)
   {
   	    scanf("%d%d",&x,&y);
    	map[x][y]=1; 	
   }
   search();
   
   printf("%d\n",res);
	return 0;
}


### 关于二分图小顶覆盖的算法实现 #### 1. 小顶覆盖的概念 小顶覆盖是指在一个二分图中选取尽可能少的节,使得这些节能够覆盖所有的边。换句话说,对于每一条边 (u, v),至少有一个端 u 或 v 被选入覆盖集中。 根据 König 定理,在任意无向二分图中,小顶覆盖的数量等于该图的最大匹配数量[^1]。 --- #### 2. 算法原理 为了求解二分图小顶覆盖,通常采用 **匈牙利算法** 来计算最大匹配数。具体过程如下: - 构建一个二分图 G(X,Y,E),其中 X 和 Y 是两个互不相交的节集合,E 表示连接它们的边。 - 使用匈牙利算法找到二分图最大匹配 M。 - 基于最大匹配的结果,通过以下方式构造小顶覆盖: - 将左侧未被匹配的节加入到覆盖集中; - 对右侧已被匹配的节也加入到覆盖集中。 终得到的覆盖集大小即为小顶覆盖的数量[^2]。 --- #### 3. 实现代码 以下是基于 Python 的实现代码,利用匈牙利算法完成二分图小顶覆盖的计算: ```python from collections import defaultdict def hungarian_algorithm(graph, n, m): """ 匈牙利算法用于寻找二分图最大匹配 :param graph: 邻接表表示的二分图 {X -> [Y]} :param n: 左侧节数目 :param m: 右侧节数目 :return: 最大匹配结果 """ match_y = [-1] * m # 记录右侧节对应的匹配关系 visited = None # 当前轮次访问标记 def dfs(u): for v in graph[u]: if not visited[v]: visited[v] = True if match_y[v] == -1 or dfs(match_y[v]): match_y[v] = u return True return False matching_count = 0 for i in range(n): visited = [False] * m if dfs(i): matching_count += 1 return matching_count, match_y def min_vertex_cover(graph, n, m): """ 求解二分图小顶覆盖 :param graph: 邻接表表示的二分图 {X -> [Y]} :param n: 左侧节数目 :param m: 右侧节数目 :return: 小顶覆盖集合 """ max_matching, match_y = hungarian_algorithm(graph, n, m) cover_x = set() # 左侧需要覆盖的节 cover_y = set() # 右侧需要覆盖的节 unmatched_in_x = set(range(n)) # 初始认为所有左侧节都未匹配 matched_in_y = set() for y in range(m): # 找出右侧已匹配的节 if match_y[y] != -1: unmatched_in_x.discard(match_y[y]) # 如果某个左侧节参与了匹配,则移除 matched_in_y.add(y) cover_x.update(unmatched_in_x) # 添加左侧未匹配的节 cover_y.update(set(range(m)) - matched_in_y) # 添加右侧未匹配的节 return list(cover_x), list(cover_y) # 测试用例 if __name__ == "__main__": # 输入邻接表形式的二分图 graph = { 0: [0, 1], 1: [0, 2], 2: [1, 3] } n = 3 # 左侧节数 m = 4 # 右侧节数 result_x, result_y = min_vertex_cover(graph, n, m) print(f"左侧需覆盖的节: {result_x}") print(f"右侧需覆盖的节: {result_y}") ``` 上述代码实现了二分图小顶覆盖功能,核心部分依赖匈牙利算法来获取最大匹配,并据此推导出覆盖所需的节集合[^3]。 --- #### 4. 应用实例 考虑 POJ 3041 Asteroids 这道题目,其本质是一个二分图小顶覆盖问题。给定一组障碍物坐标,将其转化为二分图模型后,可以通过以上方法高效解决。终输出的是满足条件的小射击次数[^4]。 ---
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