UVa 1393 问题抽象

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本文详细解析 UVA 1393 Highways 题目，介绍了一种通过枚举方格大小并计算特定对角线数量的方法来解决该几何组合问题，特别关注于如何避免重复计算斜率相同的对角线。

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题目：

uva 1393 - Highways

题意：

给定一个m∗n的矩阵，将矩阵上的点两两相连，问有多少条直线至少经过两点。

分析：

自己想了好久，不知道怎么做，看了篇题解：http://www.cnblogs.com/zhexipinnong/archive/2013/05/07/3064893.html写的很好。

这种解法不知道怎么想出来的，可能是找规律吧。

可以枚举方格的大小，然后在这个方格的对角线连一条线，然后计算这种方格的个数，每一个这种方格对角线都连上一条。但是这样会有重复，哪里重复了呢？那就是斜率相同的对角线，也就是gcd(x,y)==2的方格，也就是上面图片的5 6 8 9所在直线在gcd（1,1）的；时候就已经计算了一遍，但是不应该算上，所以要在gcd（2,2）的时候减去，更加概括的说就是要减去gcd(x,y)==2的情况，就是要减去两个互质数的各自*2的情况.

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=303;
int g[N][N];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<N;j++)
        g[i][j]=gcd(i,j);
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(!n&&!m)break;
        if(n>m)swap(n,m);
        ll ans=0;
        for(int x=1;x<n;x++){
            for(int y=1;y<m;y++){
                if(g[x][y]>2)continue;
                int tmp=(n-x)*(m-y);
                if(g[x][y]==1)ans+=tmp;
                else ans-=tmp;
            }
        }
        cout<<ans*2<<endl;
    }
    return 0;
}