二叉树理论基础

对学习的记录

二叉树的种类

两种主要形式：满二叉树和完全二叉树

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

要我说就是所有节点都是满的，并且左右一样高的树，乱七八糟的天天，最讨厌很多概念不说人话

完全二叉树

什么是完全二叉树？

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（h从1开始），则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

就是每一层都是满的除了最后一层，最后一层就算不满也得是从左到右排排好的树

这两种树的节点都是没有数值的，下面说的是有数值的了

二叉搜索树

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树

就是你随便找个节点，它左边的节点都比它本身小，右边的都比它本身大（如果有左孩子和有孩子的话）

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

就是在二叉搜索树的基础上加了个限制，左右子树高度不能超过1，但可以是1，别超了就行

ok会了常见的树后，看看树是以什么载体进行使用的

可以链式存储，也可以顺序存储

链式存储方式就用指针，链表也是用指针

顺序存储的方式就是用数组。

顺序存储如图

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。

二叉树的遍历方式

二叉树主要有两种遍历方式：

1. 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
2. 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

那么从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式：

• 深度优先遍历
  • 前序遍历（递归法，迭代法）
  • 中序遍历（递归法，迭代法）
  • 后序遍历（递归法，迭代法）
• 广度优先遍历
  • 层次遍历（迭代法）

这里前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序，只要大家记住 前中后序指的就是中间节点的位置就可以了。

看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

• 前序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中

最后再说一说二叉树中深度优先和广度优先遍历实现方式，我们做二叉树相关题目，经常会使用递归的方式来实现深度优先遍历，也就是实现前中后序遍历，使用递归是比较方便的。

之前我们讲栈与队列的时候，就说过栈其实就是递归的一种实现结构，也就说前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用递归的方式来实现的。

而广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。

二叉树的代码实现

链式存储的二叉树节点的定义方式。

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

和链表差不多，只是多了个指针