leetcode62. 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解题

• 动态规划
• 最下方和最右侧点, 路径均为1
• 节点{x, y}到终点的路径数等于下方和右侧的路径数之和
• 所以动态规划的状态转移方程为 : f(x,y) = f(x + 1, y) + f(x, y + 1)

/**
 *  62. 不同路径
 *  动态规划, 状态转移方程, 当前点的路径数 = 下方的路径 + 右侧的路径
 *  边界就是, 最下方和最右方的路径数都为1
 */
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m < 1 || n < 1) {
            return 0;
        }
        int[][] result = new int[m][n];
        Arrays.fill(result, new int[n]);
        // 最下面一行都只有一条路径 : 一直向右
        Arrays.fill(result[m - 1], 1);
        result[m - 1][n - 1] = 1;
        for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
            // 最右边一行也都只有一条路径 : 一直向下
            result[i][n - 1] = 1;
            for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
                // {i,j}这个点的路径数为下方模块的路径 + 右侧模块路径
                // 最下面一行和最右边一行已经提前赋值了, 所以i + 1和j + 1肯定都是合法的
                result[i][j] = result[i][j + 1] + result[i + 1][j];
            }
        }

        return result[0][0];
    }
}