a^x%c的确定循环节起始位置（a和c不互质）

有poj 3358(链接http://poj.org/problem?id=3358)对这个公式A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)（x>=phi(c)）有一定的理解。

 对于给定的a^x%c的循环节以及循环的位置的确定。那么有些人会提出疑问为什么在某个位置之后才会出现循环呢？

现在假设循环起始位置是r，循环节长度为s，那么a^r==a^(r+s)%c-->a^r*（a^s-1)%c==0。既c|a^r(a^s-1)。那么那么求r的时候只要求出最小的t使得c/gcd(c,a^t)与a互质了就可以了，那r=t。我们令c'=c/gcd(c,a^r)。

有人又会提出疑问，为什么要使c'与a互质呢。前面已经提到c|a^r(a^s-1),则c'|(a^s-1)。假设c'还含有a的因子x，那c'%x==0;(a^s-1)%x==1,那c'就不能整除(a^s-1)，与c'|(a^s-1)矛盾，故c'要与a互质。 

 这里就熟悉了,我们转化成a^s=1(mod c')。要使这个有解条件是a与c'最大公约数为1。到这里我们就清楚了为什么会在r之后才会出现循环。a^r用来约去c和a的所有公约数。s的求法则要用到上文提到的公式，枚举Phi(C)的所有因子。