abs（数论）

最新推荐文章于 2024-06-24 00:48:11 发布

WedyZhou

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分类专栏：数学

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5778

题意：

问题描述

给定一个数x，求正整数 $y≥2y\geq 2$ ，使得满足以下条件：
1.y-x的绝对值最小
2.y的质因数分解式中每个质因数均恰好出现2次。

输入描述

第一行输入一个整数T（ $1≤T≤501\leq T\leq 50$ )
每组数据有一行，一个整数x（ $1≤x≤10181\leq x\leq {10}^{18}$ )

输出描述

对于每组数据，输出一行y-x的最小绝对值

输入样例

输出样例

解法：由于y质因数分解式中每个质因数均出现2次，那么y是一个完全平方数，设y=z*z，题目可转换成求z，使得每个质因数出现1次. 我们可以暴力枚举z，检查z是否符合要求，显然当z是质数是符合要求，由素数定理可以得，z的枚举量在logn级别复杂度 O（ $n4logn2\sqrt[4]{n}log\sqrt[2]{n}$ ）。

tips：枚举z时，我们仅需要枚举满足条件的第一大于等于和小于等于sqrt（x）的两个z值，然后去最小的答案即可。

AC：

#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll __int64
const int maxn =1e6+8;
#define ll long long int
ll prime[maxn];
bool isprime[maxn];
int cnt_prime;
ll abss(ll x)//求绝对值
{
    if(x<0ll)
    {
        return  -1ll*x;
    }
    return x;
}
void init()//素数筛选
{
    memset(isprime,0,sizeof isprime);
    cnt_prime=0;
    for(ll i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[cnt_prime++]=i;
             for(ll j=2*i;j<maxn;j+=i)
             {
                 isprime[j]=1;
             }
        }

    }
}
bool prim(ll n)
{
    if(n==2||n==3) return 1;
    for(int i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)
    {
        if(n%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}
int check(ll x)//判断是否满足条件，
{
    for(int i=0;i<cnt_prime&&x>=prime[i];i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            x/=prime[i];
            if(x%prime[i]==0) return 0;
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int t;
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    ll x,y,x1,ans;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&x);
        ll x1=(ll)sqrt(x);
        ans=(ll)1<<61;
        for(ll i=x1;i>=2;i--)
        {
            if(check(i))
            {
                ans=abss(x-i*i);
                for(;i>=2;i--)
                {
                     if(check(i))
                     {
                          ans=min(ans,abss(x-i*i));
                          break;
                     }
                }
                break;
            }
        }
        for(ll i=x1+1;;i++)
        {
            if(check(i))
            {
                ans=min(ans,abss(i*i-x));
                break;
            }

        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }



}