BestCoder Round #80 Sequence(HDU5667) 费马小定里和矩阵乘法的应用

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#ACM #数论 #gcd

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Sequence

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问题描述

 $\ \ \ \$ Lcomyn 是个很厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:
 $f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.$  $\ \ \ \$ 他给了你几个数: $n$ , $a$ , $b$ , $c$ ,你需要告诉他 $f_n$ 模 $p$ 后的数值.

输入描述

 $\ \ \ \$ 第一行一个数T,为测试数据组数.

 $\ \ \ \$ 每组数据一行,一行五个正整数,按顺序为 $n$ , $a$ , $b$ , $c$ , $p$ .

 $\ \ \ \ 1\le T \le 10,1\le n\le 10^{18}$ , $1\le a,b,c\le 10^9$ ,p是质数且 $p\le 10^9+7$ .

输出描述

 $\ \ \ \$ 对每组数据输出一行一个数,输出 $f_n$ 对 $p$ 取模后的数值.

输入样例

1
5 3 3 3 233

输出样例

//******************************

//返回d=gcd(a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,y

long longextend_gcd(longlonga,long longb,long long&x,long long&y)

{

if(a==0&&b==0)return-1;//无最大公约数

if(b==0){x=1;y=0;returna;}

long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;

return d;

}

//*********求逆元素*******************

//ax = 1(mod n)

long longmod_reverse(longlonga,long longn)

{

longlong x,y;

longlong d=extend_gcd(a,n,x,y);

if(d==1) return(x%n+n)%n;

else return-1;

}

3.对于求（a/b）%m也可以套用下面的公式;a%(mod*b)/b.

#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll  long long int
const int maxn=10;
ll A,B,C,P,P1,n;
struct Mat
{
    ll data[maxn][maxn];
    ll x,y;
};
Mat operator * (Mat a,Mat b)
{

    Mat c;
    memset(c.data,0,sizeof c.data);
    if(a.y==b.x)
    {
        c.x=a.x;
        c.y=b.y;
        for(ll k=0;k<a.y;k++)
        {
            for(ll i=0;i<a.x;i++)
            {
                if(a.data[i][k]==0) continue;
                for(ll j=0;j<b.y;j++)
                {
                    if(b.data[k][j]==0)  continue;
                    c.data[i][j]= (c.data[i][j]+(a.data[i][k]*b.data[k][j]))%(P-1);
                }
            }
        }
    }
    else c.x=c.y=0;
    return c;
}
Mat  operator ^ (Mat a,ll s)
{
    Mat c;
    c.x=a.x;
    c.y=a.y;
    for(ll i=0;i<a.x;i++)
    {
        for(ll j=0;j<a.y;j++)
        {

            c.data[i][j]=(i==j) ;
        }
    }
    while(s!=0)
    {
        if(s&1)  c=c*a;
        a=a*a;
        s=s/2;
    }
    return c;
}
ll pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1)
        {
            ans*=a;
            ans%=P;
        }
        a*=a;
        a%=P;
        b/=2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    Mat t,m;
    while(T--)
    {
      scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C,&P);
      if(n==1)
      {
          printf("1\n");
          continue;
      }
     else if(A%P==0)
      {
          printf("0\n");
          continue;
      }
      ll ans;
      ll tt[3][3]={1,0,0,1,0,1,0,1,0};
      tt[1][1]=C;
      t.x=t.y=3;
      for(int i=0;i<3;i++)
      {
          for(int j=0;j<3;j++) t.data[i][j]=tt[i][j];
      }
      m.data[0][0]=B; m.data[1][0]=B; m.data[2][0]=0;
      m.x=3,m.y=1;
      m=(t^(n-1))*m;
      ans=pow(A,m.data[2][0]%(P-1));
      printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}