海明码详解 [转]

最新推荐文章于 2025-05-03 19:12:26 发布

longjing1113

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分类专栏：计算机系统知识

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海明码是奇偶校验的一种扩充。它采用多位校验码的方式，在这些校验位中的每一位都对不同的信息数据位进行奇偶校验，通过合理地安排每个校验位对原始数据进行校验位组合，可以达到发现错误，纠正错误的目的。
　　假设数据位有m位，如何设定校验位k的长度才能满足纠正一位错误的要求呢?我们这里做一个简单的推导。
　　k位的校验码可以有2^k个值。显然，其中一个值表示数据是正确的，而剩下的2^k –1个值意味着数据中存在错误，如果能够满足：

2^k–1>=m + k (m + k为编码后的总长度)，在理论上k个校验码就可以判断是哪一位(包括信息码和校验码)出现问题。
1.编码步骤
　　(1)根据信息位数，确定校验位数，2^r >= k+r+1，其中，k为信息位数，r为校验位数。求出满足不等式的最小r，即为校验位数。
　　(2)计算机校验位公式。

　表1-3其实可以当成一个公式来套用，如有已经编码的数据 1100 1001 0111。我们只需把这些数据填充到校验公式，即可得到信息位与校验位。填充的方法是这样的，首先看数据的最低位(即右边第1位)，最低位为1，把1填充在公式表的r0位置，接着取出数据的次低位数据(即右边第2位)，把它填充到r1位置，把右边第3位数填充到I1位置。依此类推，我们可以得到表1-4。

　表中第2行数据为1100 001 1，这就是数据1100 1001 0111的编码信息，而表格第3行是1 011，这便是校验位。
　　注意：
n 校验位rn 所在位数为2^n，其余由信息位填充;
n 信息位下标从1开始，而校验位下标从0开始。
　　例如：I8 对应的第十二位12=2^3+2^2，I7对应的第十一位11=2^3+2^1+2^0，I6 对应的第十位10=2^3+2^1，I5 对应的第九位9=2^3+2^0，一直写到I1对应的第三位。
　　校验位rn 由前面位数写成2的幂之和中包含2^n 的位数对应的信息位之和构成
　　例如： r3=I8+I7+I6+I5 （+表示异或）
　　(3)求校验位。根据上面我们所说的计算公式可以求出校验位。
　　(4)求海明码。根据上面的表格填充后，写出海明码。
2.纠错步骤
1) 根据海明码的信息位和校验位的分布规则，找出接收到的数据的信息位以及校验位。
　

　　如有已经编码的数据 1100 1001 0111，则可以根据上表得到编码的信息为：1100 001 1;校验位为：1 011，详细过程在“编码步骤”已详细说明。

2)        接收端对校验位进行验证
　　Sn= rn (校验) +rn (接收)    （+表示异或，异或：即“相同为0，不同为1”！）
3)        判断校正因子是否有错，并改正。
　　Sn Sn-1 Sn-2……S0二进制对应的是那位就是那位出错，将其改正完成纠错。如1001为第九位，将第九位1变0 (或0变1) 即可。
例题1
　　求信息1011的海明码。
　　解答：
　　我们可以按照上面所说的编码步骤进行解题：
　　(1)2^r≥4+r+1，确定校验位为3位2^3≥4+3+1。
　　(2)列出公式表格。

　　7=2^2+2^1+2^0，6=2^2+2^1，5=2^2+2^0，3=2^1+2^0
　　r2= I4+I3+I2 （+表示异或）
　　r1= I4+I3+I1
　　r0= I4+I2+I1
　　(3)根据公式得r2=0，r1=0，r0=1
　　(4)加入表格。

　　　则海明码为1010101
例题2
　　信息位8位的海明码，在接收到报文110010100000，判断传输是否出错，并求出发送端发送的信息位。
　　解答：
　　2^r≥8+r+1，确定校验位为4位2^4≥4+4+1。

　按照上面的海明码信息位和校验位的分布情况表，对接收数据进行分解：
海明码详解 - ztq13522540788 - ztq13522540788

从而得到信息位为11000100，校验位为1000。
　　因为12=2^3+2^2 ;11=2^3+2^1+2^0;10=2^3+2^1; 9=2^3+2^0;7=2^2+2^1+2^0; 6=2^2+2^1 ;5 =2^2+2^0;3=2^1+2^0 ;
可得发送端校验位：
　　r3= I8+I7+I6+I5;   （+表示异或）
　　r2= I8+I4+I3+I2;
　　r1= I7+I6+I4+I3+I1;
　　r0= I7+I5+I4+I2+I1。
接收端可根据以下关系验证是否出错
　　S3= r3+I8+I7+I6+I5; （+表示异或）
　　S2= r2+I8+I4+I3+I2;
　　S1= r1+I7+I6+I4+I3+I1;
       S0= r0+I7+I5+I4+I2+I1;　　：其中的
注意rn为接收端校验位。
　　由上面的算式得S3 S2 S1 S0=1001，从而得知第九位出错，所以信息位为11010100。此外，若S3 S2 S1 S0全为0，则证明传输正确。
例题3
　　若海明码的监督关系式为：
　　S0=a0+a3+a4+a5   （+表示异或）
　　S1=a1+a4+a5+a6
　　S2=a2+a3+a5+a6
　　接收端收到的码字为：a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0=1 0 1 0 1 0 0
　　那最多一位错的情况下发送端的发送信息位是什么?
　　解答：按监督关系式
　　S0=0+0+1+0=1   （+表示异或）
　　S1=0+1+0+1=0
       S2=1+0+0+1=0　　
得出S2 S1 S0=001 根据值与错码位置的对应关系所以a0错误，发送端的发送信息应为1010101。